初中数学二次函数综合题解答题

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-x^2+6x-5$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $P$，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CP}$，过点 $C$作 $y$轴的垂线 $l$．

（1）求点 $P$， $C$的坐标；

（2）直线 $l$上是否存在点 $Q$，使 $\mathit{\Delta PBQ}$的面积等于 $\mathit{\Delta PAC}$的面积的2倍？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$， $B$两点，交 $y$轴于点 $C$，对称轴是直线 $x=-3$， $B(-1,0)$， $F(0,1)$，请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）直接写出抛物线顶点 $E$的坐标，并判断 $\mathit{AC}$与 $\mathit{EF}$的位置关系，不需要说明理由．

注：抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

在平面直角坐标系中，点 $O$为原点，平行于 $x$轴的直线与抛物线 $L:y=a{x}^2$相交于 $A$， $B$两点（点 $B$在第一象限），点 $D$在 $\mathit{AB}$的延长线上．

（1）已知 $a=1$，点 $B$的纵坐标为2．

①如图1，向右平移抛物线 $L$使该抛物线过点 $B$，与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $C$，求 $\mathit{AC}$的长．

②如图2，若 $\mathit{BD}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，过点 $B$， $D$的抛物线 $L_2$，其顶点 $M$在 $x$轴上，求该抛物线的函数表达式．

（2）如图3，若 $\mathit{BD}=\mathit{AB}$，过 $O$， $B$， $D$三点的抛物线 $L_3$，顶点为 $P$，对应函数的二次项系数为 $a_3$，过点 $P$作 $\mathit{PE}//x$轴，交抛物线 $L$于 $E$， $F$两点，求 $\frac{a_3}{a}$的值，并直接写出 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{EF}}$的值．

如图，抛物线 $y=a(x-1)(x-3)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴的正半轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．

（1）写出 $C$， $D$两点的坐标（用含 $a$的式子表示）；

（2）设 $S_{\mathit{\Delta BCD}}:S_{\mathit{\Delta ABD}}=k$，求 $k$的值；

（3）当 $\mathit{\Delta BCD}$是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{(x-m)}^2+4$图象的顶点为 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，异于顶点 $A$的点 $C(1,n)$在该函数图象上．

（1）当 $m=5$时，求 $n$的值．

（2）当 $n=2$时，若点 $A$在第一象限内，结合图象，求当 $y⩾2$时，自变量 $x$的取值范围．

（3）作直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴相交于点 $D$．当点 $B$在 $x$轴上方，且在线段 $\mathit{OD}$上时，求 $m$的取值范围．

若抛物线 $L：y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c$（a，b，c是常数， $\mathit{abc}\ne 0$）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．

（1）若直线 $y＝\mathit{mx}+1$与抛物线 $y＝x^2-2x+n$具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数 $y＝\frac{6}{x}$的图象上，它的“带线”l的解析式为 $y＝2x-4$，求此“路线”L的解析式；

（3）当常数k满足 $\frac{1}{2}\le k\le 2$时，求抛物线 $L：y＝a{x}^2+（3k^2﹣2k+1）x+k$的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．

已知函数 $y_1=a{x}^2+\mathit{bx}$， $y_2=\mathit{ax}+b(\mathit{ab}\ne 0)$．在同一平面直角坐标系中．

（1）若函数 $y_1$的图象过点 $(-1,0)$，函数 $y_2$的图象过点 $(1,2)$，求 $a$， $b$的值．

（2）若函数 $y_2$的图象经过 $y_1$的顶点．

①求证： $2a+b=0$；

②当 $1<x<\frac{3}{2}$时，比较 $y_1$， $y_2$的大小．

如图，顶点为 $A(\sqrt{3},1)$的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证： $△\mathit{OCD}≌△\mathit{OAB}$；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=(x-a)(x-3)(0<a<3)$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $D$，过其顶点 $C$作直线 $\mathit{CP}\perp x$轴，垂足为点 $P$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求点 $A$、 $B$、 $D$的坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta AOD}$与 $\mathit{\Delta BPC}$相似，求 $a$的值；

（3）点 $D$、 $O$、 $C$、 $B$能否在同一个圆上？若能，求出 $a$的值；若不能，请说明理由．

如图，抛物线过点 $A(0,1)$和 $C$，顶点为 $D$，直线 $\mathit{AC}$与抛物线的对称轴 $\mathit{BD}$的交点为 $B(\sqrt{3}$， $0)$，平行于 $y$轴的直线 $\mathit{EF}$与抛物线交于点 $E$，与直线 $\mathit{AC}$交于点 $F$，点 $F$的横坐标为 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$，四边形 $\mathit{BDEF}$为平行四边形．

（1）求点 $F$的坐标及抛物线的解析式；

（2）若点 $P$为抛物线上的动点，且在直线 $\mathit{AC}$上方，当 $\mathit{\Delta PAB}$面积最大时，求点 $P$的坐标及 $\mathit{\Delta PAB}$面积的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上取一点 $Q$，同时在抛物线上取一点 $R$，使以 $\mathit{AC}$为一边且以 $A$， $C$， $Q$， $R$为顶点的四边形为平行四边形，求点 $Q$和点 $R$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$与 $y$轴交于点 $C$，与x轴交于 $A，B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），且 $A$点坐标为 $(-\sqrt{2},0)$，直线 $\mathit{BC}$的解析式为 $y=-\frac{\sqrt{2}}{3}x+2$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$，交抛物线于点D，点E为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

（3）将抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$向左平移 $\sqrt{2}$个单位，已知点 $M$为抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 $\mathit{BECD}$的面积最大时，是否存在以 $A，E，M，N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3+2a^2(a\ne 0)$ ．

（1）求这条抛物线的对称轴；

（2）若该抛物线的顶点在 $x$ 轴上，求其解析式；

（3）设点 $P(m,y_1)$ ， $Q(3,y_2)$ 在抛物线上，若 $y_1<y_2$ ，求 $m$ 的取值范围．

在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+a$， $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+1(a$， $b$是实数， $a\ne 0)$．

（1）若函数 $y_1$的对称轴为直线 $x=3$，且函数 $y_1$的图象经过点 $(a,b)$，求函数 $y_1$的表达式．

（2）若函数 $y_1$的图象经过点 $(r,0)$，其中 $r\ne 0$，求证：函数 $y_2$的图象经过点 $(\frac{1}{r}$， $0)$．

（3）设函数 $y_1$和函数 $y_2$的最小值分别为 $m$和 $n$，若 $m+n=0$，求 $m$， $n$的值．

如图1，图形 $\mathit{ABCD}$是由两个二次函数 $y_1=k{x}^2+m(k<0)$与 $y_2=a{x}^2+b(a>0)$的部分图象围成的封闭图形．已知 $A(1,0)$、 $B(0,1)$、 $D(0,-3)$．

（1）直接写出这两个二次函数的表达式；

（2）判断图形 $\mathit{ABCD}$是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形 $\mathit{ABCD}$上），并说明理由；

（3）如图2，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$，在坐标平面内，求使得 $\mathit{\Delta BDC}$与 $\mathit{\Delta ADE}$相似（其中点 $C$与点 $E$是对应顶点）的点 $E$的坐标．

如图，已知二次函数的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $D$为顶点，其中点 $B$的坐标为 $(5,0)$，点 $D$的坐标为 $(1,3)$．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点 $E$是线段 $\mathit{BD}$上的一点，过点 $E$作 $x$轴的垂线，垂足为 $F$，且 $\mathit{ED}=\mathit{EF}$，求点 $E$的坐标．

（3）试问在该二次函数图象上是否存在点 $G$，使得 $\mathit{\Delta ADG}$的面积是 $\mathit{\Delta BDG}$的面积的 $\frac{3}{5}$？若存在，求出点 $G$的坐标；若不存在，请说明理由．