如图，抛物线过点A(0,1)和C，顶点为D，直线AC与抛物线

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，抛物线过点 $A (0, 1)$ 和 $C$ ，顶点为 $D$ ，直线 $AC$ 与抛物线的对称轴 $BD$ 的交点为 $B (\sqrt{3}$ ， $0)$ ，平行于 $y$ 轴的直线 $EF$ 与抛物线交于点 $E$ ，与直线 $AC$ 交于点 $F$ ，点 $F$ 的横坐标为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，四边形 $BDEF$ 为平行四边形．

（1）求点 $F$ 的坐标及抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 为抛物线上的动点，且在直线 $AC$ 上方，当 $ΔPAB$ 面积最大时，求点 $P$ 的坐标及 $ΔPAB$ 面积的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上取一点 $Q$ ，同时在抛物线上取一点 $R$ ，使以 $AC$ 为一边且以 $A$ ， $C$ ， $Q$ ， $R$ 为顶点的四边形为平行四边形，求点 $Q$ 和点 $R$ 的坐标．

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如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线 $y ＝ a x^{2} + bx + 4 （ a \neq 0 ）$ 与y轴交于点A，与x轴交于点 $C （﹣ 2 ， 0 ）$ ，且经过点B（8，4），连接AB，BO，作 $AM ⊥ OB$ 于点M，将 $Rt △ OMA$ 沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：

（1）抛物线的解析式为　，顶点坐标为　；

（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；

（3）如图（2），将图（1）中 $Rt △ OMA$ 沿着OB平移后，得到 $Rt △ DEF$ ．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形 $AMEF$ 的面积．

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（1）求证：直线CD是⊙O切线．

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用点A₁、A₂、A₃…A₄₈分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：

（1）填写上图中第四个图中y的值为　　，第五个图中y的值为　　．

（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为　　，当 $x ＝ 48$ 时，对应的y＝　　．

（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？

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（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？

（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？

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根据统计图提供的作息，解答下列问题：

（1）本次共调查了　　名学生；

（2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

（3）扇形統计图中m＝　　，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是　　度；

（4）若该校七年级共有400名学生，根据抽样调查的结果，估计该校七年級有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时？

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