初中数学抛物线与x轴的交点解答题

如图所示，抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $\mathit{BN}$ 、 $\mathit{CN}$ ，求 $\mathit{\Delta BCN}$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $\mathit{CM}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $\mathit{EM}$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $C$ ，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ，点 $C$ ，且交 $x$ 轴于另一点 $B$ ．

（1）直接写出点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 的坐标及拋物线的解析式；

（2）在直线 $\mathit{AC}$ 上方的抛物线上有一点 $M$ ，求四边形 $\mathit{ABCM}$ 面积的最大值及此时点 $M$ 的坐标；

（3）将线段 $\mathit{OA}$ 绕 $x$ 轴上的动点 $P(m,0)$ 顺时针旋转 $90°$ 得到线段 $O\text{'}A\text{'}$ ，若线段 $O\text{'}A\text{'}$ 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求 $m$ 的取值范围．

如图，抛物线为常数，与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点的坐标为，，连接并延长与过，，三点的相交于点．

（1）求点的坐标；

（2）过点作的切线交轴于点．

①如图1，求证：；

②如图2，连接，，，当，时，求的值．

如图1，的三个顶点、、分别落在抛物线的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为．（点在点的左侧）

（1）求点、的坐标；

（2）将绕点逆时针旋转得到△，抛物线经过、两点，已知点为抛物线的对称轴上一定点，且点恰好在以为直径的圆上，连接、，求△的面积；

（3）如图2，延长交抛物线于点，连接，在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△相似．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与探究

如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．点是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作交轴于点，交于点．

（1）求，，三点的坐标；

（2）试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+4x-3$图象的顶点是 $A$，与 $x$轴交于 $B$， $C$两点，与 $y$轴交于点 $D$．点 $B$的坐标是 $(1,0)$．

（1）求 $A$， $C$两点的坐标，并根据图象直接写出当 $y>0$时 $x$的取值范围．

（2）平移该二次函数的图象，使点 $D$恰好落在点 $A$的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-x^2+6x-5$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $P$，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CP}$，过点 $C$作 $y$轴的垂线 $l$．

（1）求点 $P$， $C$的坐标；

（2）直线 $l$上是否存在点 $Q$，使 $\mathit{\Delta PBQ}$的面积等于 $\mathit{\Delta PAC}$的面积的2倍？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m+2$的图象与 $x$轴有两个交点．

（1）当 $m=-2$时，求二次函数的图象与 $x$轴交点的坐标；

（2）过点 $P(0,m-1)$作直线 $l\perp y$轴，二次函数图象的顶点 $A$在直线 $l$与 $x$轴之间（不包含点 $A$在直线 $l$上），求 $m$的范围；

（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 $l$相交于点 $B$，求 $\mathit{\Delta ABO}$的面积最大时 $m$的值．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=(x-a)(x-3)(0<a<3)$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $D$，过其顶点 $C$作直线 $\mathit{CP}\perp x$轴，垂足为点 $P$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求点 $A$、 $B$、 $D$的坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta AOD}$与 $\mathit{\Delta BPC}$相似，求 $a$的值；

（3）点 $D$、 $O$、 $C$、 $B$能否在同一个圆上？若能，求出 $a$的值；若不能，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=x^2-4$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$位于点 $B$的左侧）， $C$为顶点，直线 $y=x+m$经过点 $A$，与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求线段 $\mathit{AD}$的长；

（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为 $C\text{'}$．若新抛物线经过点 $D$，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 $\mathit{CC}\text{'}$平行于直线 $\mathit{AD}$，求新抛物线对应的函数表达式．

已知二次函数 $y=2(x-1)(x-m-3)(m$为常数）．

（1）求证：不论 $m$为何值，该函数的图象与 $x$轴总有公共点；

（2）当 $m$取什么值时，该函数的图象与 $y$轴的交点在 $x$轴的上方？

已知，点 $M$为二次函数 $y=-{(x-b)}^2+4b+1$图象的顶点，直线 $y=\mathit{mx}+5$分别交 $x$轴正半轴， $y$轴于点 $A$， $B$．

（1）判断顶点 $M$是否在直线 $y=4x+1$上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点 $A$， $B$，且 $\mathit{mx}+5>-{(x-b)}^2+4b+1$，根据图象，写出 $x$的取值范围．

（3）如图2，点 $A$坐标为 $(5,0)$，点 $M$在 $\mathit{\Delta AOB}$内，若点 $C(\frac{1}{4}$， $y_1)$， $D(\frac{3}{4}$， $y_2)$都在二次函数图象上，试比较 $y_1$与 $y_2$的大小．

设二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-(a+b)(a$， $b$是常数， $a\ne 0)$．

（1）判断该二次函数图象与 $x$轴的交点的个数，说明理由．

（2）若该二次函数图象经过 $A(-1,4)$， $B(0,-1)$， $C(1,1)$三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．

（3）若 $a+b<0$，点 $P(2$， $m\left)\right(m>0)$在该二次函数图象上，求证： $a>0$．

如图，过抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2-2x$上一点 $A$作 $x$轴的平行线，交抛物线于另一点 $B$，交 $y$轴于点 $C$，已知点 $A$的横坐标为 $-2$．

（1）求抛物线的对称轴和点 $B$的坐标；

（2）在 $\mathit{AB}$上任取一点 $P$，连接 $\mathit{OP}$，作点 $C$关于直线 $\mathit{OP}$的对称点 $D$；

①连接 $\mathit{BD}$，求 $\mathit{BD}$的最小值；

②当点 $D$落在抛物线的对称轴上，且在 $x$轴上方时，求直线 $\mathit{PD}$的函数表达式．

已知关于 $x$的一元二次方程 $m{x}^2+(1-5m)x-5=0(m\ne 0)$．

（1）求证：无论 $m$为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线 $y=m{x}^2+(1-5m)x-5$与 $x$轴交于 $A(x_1$， $0)$、 $B(x_2$， $0)$两点，且 $|x_1-x_2|=6$，求 $m$的值；

（3）若 $m>0$，点 $P(a,b)$与 $Q(a+n,b)$在（2）中的抛物线上（点 $P$、 $Q$不重合），求代数式 $4a^2-n^2+8n$的值．