如图，已知抛物线yx2−4与x轴交于点A，B（点A位于点B的

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，已知抛物线 $y = x^{2} - 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 位于点 $B$ 的左侧）， $C$ 为顶点，直线 $y = x + m$ 经过点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ．

（1）求线段 $AD$ 的长；

（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为 $C'$ ．若新抛物线经过点 $D$ ，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 $CC'$ 平行于直线 $AD$ ，求新抛物线对应的函数表达式．

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	平均数	中位数	众数	方差
甲	175	$a$	$b$	93.75
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（1）请直接写出点 $A$ 、点 $B$ 、点 $P$ 的坐标；

（2）连接 $PQ$ ，在第一象限内将 $ΔOPQ$ 沿 $PQ$ 翻折得到 $ΔEPQ$ ，点 $O$ 的对应点为点 $E$ ．若 $∠ OQE = 90 °$ ，求线段 $AQ$ 的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x + a^{3} + a + 1 (a \neq 0)$ 的顶点为点 $C$ ．

①若点 $C$ 在 $ΔPQE$ 内部（不包括边），求 $a$ 的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点 $C$ ，使 $| CQ - CE |$ 最大？若存在，请直接写出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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