如图，过抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2-2x$上一点 $A$作 $x$轴的平行线，交抛物线于另一点 $B$，交 $y$轴于点 $C$，已知点 $A$的横坐标为 $-2$．

（1）求抛物线的对称轴和点 $B$的坐标；

（2）在 $\mathit{AB}$上任取一点 $P$，连接 $\mathit{OP}$，作点 $C$关于直线 $\mathit{OP}$的对称点 $D$；

①连接 $\mathit{BD}$，求 $\mathit{BD}$的最小值；

②当点 $D$落在抛物线的对称轴上，且在 $x$轴上方时，求直线 $\mathit{PD}$的函数表达式．