初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$过 $A(2,0)$、 $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$，过点 $C$作 $x$轴的平行线与抛物线上的另一个交点为 $D$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．点 $P$是该抛物线上一动点，设点 $P$的横坐标为 $m(m>4)$．

（1）求该抛物线的表达式和 $\angle \mathit{ACB}$的正切值；

（2）如图2，若 $\angle \mathit{ACP}=45°$，求 $m$的值；

（3）如图3，过点 $A$、 $P$的直线与 $y$轴于点 $N$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $M$，直线 $\mathit{MN}$与 $x$轴交于点 $Q$，试判断四边形 $\mathit{ADMQ}$的形状，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B(-5,0)$和点 $C(1,0)$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//x$轴交抛物线于点 $D$．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点 $E$是抛物线上一点，且点 $E$关于 $x$轴的对称点在直线 $\mathit{AD}$上，求 $\mathit{\Delta EAD}$的面积；

（3）若点 $P$是直线 $\mathit{AB}$下方的抛物线上一动点，当点 $P$运动到某一位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标和 $\mathit{\Delta ABP}$的最大面积．

如图，抛物线 $y=a(x-1)(x-3)(a>0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，抛物线上另有一点 $C$在 $x$轴下方，且使 $\mathit{\Delta OCA}\backsim \mathit{\Delta OBC}$．

（1）求线段 $\mathit{OC}$的长度；

（2）设直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $M$，点 $C$是 $\mathit{BM}$的中点时，求直线 $\mathit{BM}$和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上是否存在一点 $P$，使得四边形 $\mathit{ABPC}$面积最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y=x-1$与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交于 $A$、 $B$两点，其中 $A(m,0)$、 $B(4,n)$，该抛物线与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴交于另一点 $D$．

（1）求 $m$、 $n$的值及该抛物线的解析式；

（2）如图2，若点 $P$为线段 $\mathit{AD}$上的一动点（不与 $A$、 $D$重合），分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{DP}$为斜边，在直线 $\mathit{AD}$的同侧作等腰直角 $\mathit{\Delta APM}$和等腰直角 $\mathit{\Delta DPN}$，连接 $\mathit{MN}$，试确定 $\mathit{\Delta MPN}$面积最大时 $P$点的坐标；

（3）如图3，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，在线段 $\mathit{CD}$上是否存在点 $Q$，使得以 $A$、 $D$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABD}$相似，若存在，请直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，经过原点 $O$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$与 $x$轴交于另一点 $A(\frac{3}{2}$， $0)$，在第一象限内与直线 $y=x$交于点 $B(2,t)$．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点 $C$，满足以 $B$， $O$， $C$为顶点的三角形的面积为2，求点 $C$的坐标；

（3）如图2，若点 $M$在这条抛物线上，且 $\angle \mathit{MBO}=\angle \mathit{ABO}$，在（2）的条件下，是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta POC}\backsim \mathit{\Delta MOB}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$坐标为 $(6,0)$，点 $C$坐标为 $(0,6)$，点 $D$是抛物线的顶点，过点 $D$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）点 $F$是抛物线上的动点，当 $\angle \mathit{FBA}=\angle \mathit{BDE}$时，求点 $F$的坐标；

（3）若点 $M$是抛物线上的动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}//x$轴与抛物线交于点 $N$，点 $P$在 $x$轴上，点 $Q$在坐标平面内，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作正方形 $\mathit{MPNQ}$，请写出点 $Q$的坐标．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{AB}=4$，矩形 $\mathit{OBDC}$的边 $\mathit{CD}=1$，延长 $\mathit{DC}$交抛物线于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点 $P$是直线 $\mathit{EO}$上方抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $y$轴的平行线交直线 $\mathit{EO}$于点 $G$，作 $\mathit{PH}\perp \mathit{EO}$，垂足为 $H$．设 $\mathit{PH}$的长为 $l$，点 $P$的横坐标为 $m$，求 $l$与 $m$的函数关系式（不必写出 $m$的取值范围），并求出 $l$的最大值；

（3）如果点 $N$是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 $M$，使得以 $M$， $A$， $C$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过平行四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A(0,3)$、 $B(-1,0)$、 $D(2,3)$，抛物线与 $x$轴的另一交点为 $E$．经过点 $E$的直线 $l$将平行四边形 $\mathit{ABCD}$分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点 $F$．点 $P$为直线 $l$上方抛物线上一动点，设点 $P$的横坐标为 $t$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $t$何值时， $\mathit{\Delta PFE}$的面积最大？并求最大值的立方根；

（3）是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PAE}$为直角三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,3)$，点 $M$、 $N$为抛物线上的动点，过点 $M$作 $\mathit{MD}//y$轴，交直线 $\mathit{BC}$于点 $D$，交 $x$轴于点 $E$．

（1）求二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的表达式；

（2）过点 $N$作 $\mathit{NF}\perp x$轴，垂足为点 $F$，若四边形 $\mathit{MNFE}$为正方形（此处限定点 $M$在对称轴的右侧），求该正方形的面积；

（3）若 $\angle \mathit{DMN}=90°$， $\mathit{MD}=\mathit{MN}$，求点 $M$的横坐标．

如图所示，在平面直角坐标系中， $\odot C$经过坐标原点 $O$，且与 $x$轴， $y$轴分别相交于 $M(4,0)$， $N(0,3)$两点．已知抛物线开口向上，与 $\odot C$交于 $N$， $H$， $P$三点， $P$为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 $C$且垂直 $x$轴于点 $D$．

（1）求线段 $\mathit{CD}$的长及顶点 $P$的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）设抛物线交 $x$轴于 $A$， $B$两点，在抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $S_{\mathit{四边形OPMN}}=8S_{\mathit{\Delta QAB}}$，且 $\mathit{\Delta QAB}\backsim \mathit{\Delta OBN}$成立？若存在，请求出 $Q$点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$经过点 $A(2,-3)$，与 $x$轴负半轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{OC}=3\mathit{OB}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $D$在 $y$轴上，且 $\angle \mathit{BDO}=\angle \mathit{BAC}$，求点 $D$的坐标；

（3）点 $M$在抛物线上，点 $N$在抛物线的对称轴上，是否存在以点 $A$， $B$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+2x+c$与 $y$轴交于点 $A(0,6)$，与 $x$轴交于点 $B(6,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点 $P$移动到抛物线的什么位置时，使得 $\angle \mathit{PAB}=75°$，求出此时点 $P$的坐标；

（3）当点 $P$从 $A$点出发沿线段 $\mathit{AB}$上方的抛物线向终点 $B$移动，在移动中，点 $P$的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点 $M$以每秒1个单位长度的速度沿 $\mathit{AO}$向终点 $O$移动，点 $P$， $M$移动到各自终点时停止．当两个动点移动 $t$秒时，求四边形 $\mathit{PAMB}$的面积 $S$关于 $t$的函数表达式，并求 $t$为何值时， $S$有最大值，最大值是多少？

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过 $A(2,3)$， $B(4,3)$， $C(6,-5)$三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，抛物线上一点 $D$在线段 $\mathit{AC}$的上方， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，若满足 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{AE}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，求点 $D$的坐标；

（3）如图②， $F$为抛物线顶点，过 $A$作直线 $l\perp \mathit{AB}$，若点 $P$在直线 $l$上运动，点 $Q$在 $x$轴上运动，是否存在这样的点 $P$、 $Q$，使得以 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABF}$相似，若存在，求 $P$、 $Q$的坐标，并求此时 $\mathit{\Delta BPQ}$的面积；若不存在，请说明理由．

如图1，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$的坐标分别为 $(4,0)$， $(0,6)$，直线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\tan \angle \mathit{OAD}=2$，抛物线 $M_1:y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$过 $A$， $D$两点．

（1）求点 $D$的坐标和抛物线 $M_1$的表达式；

（2）点 $P$是抛物线 $M_1$对称轴上一动点，当 $\angle \mathit{CPA}=90°$时，求所有符合条件的点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $E(0,4)$，连接 $\mathit{AE}$，将抛物线 $M_1$的图象向下平移 $m(m>0)$个单位得到抛物线 $M_2$．

①设点 $D$平移后的对应点为点 $D\text{'}$，当点 $D\text{'}$恰好在直线 $\mathit{AE}$上时，求 $m$的值；

②当 $1⩽x⩽m(m>1)$时，若抛物线 $M_2$与直线 $\mathit{AE}$有两个交点，求 $m$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴正半轴于点 $B(4,0)$，与过 $A$点的直线相交于另一点 $D(3,\frac{5}{2})$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$在线段 $\mathit{OC}$上（不与点 $O$、 $C$重合），过 $P$作 $\mathit{PN}\perp x$轴，交直线 $\mathit{AD}$于 $M$，交抛物线于点 $N$，连接 $\mathit{CM}$，求 $\mathit{\Delta PCM}$面积的最大值；

（3）若 $P$是 $x$轴正半轴上的一动点，设 $\mathit{OP}$的长为 $t$，是否存在 $t$，使以点 $M$、 $C$、 $D$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．