如图1，在平面直角坐标系中，直线yx−1与抛物线y−x2bx

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，其中 $A (m, 0)$ 、 $B (4, n)$ ，该抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $D$ ．

（1）求 $m$ 、 $n$ 的值及该抛物线的解析式；

（2）如图2，若点 $P$ 为线段 $AD$ 上的一动点（不与 $A$ 、 $D$ 重合），分别以 $AP$ 、 $DP$ 为斜边，在直线 $AD$ 的同侧作等腰直角 $ΔAPM$ 和等腰直角 $ΔDPN$ ，连接 $MN$ ，试确定 $ΔMPN$ 面积最大时 $P$ 点的坐标；

（3）如图3，连接 $BD$ 、 $CD$ ，在线段 $CD$ 上是否存在点 $Q$ ，使得以 $A$ 、 $D$ 、 $Q$ 为顶点的三角形与 $ΔABD$ 相似，若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点 $A$ 驶向终点 $B$ ，在整个行程中，龙舟离开起点的距离 $y$ （米 $)$ 与时间 $x$ （分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）起点 $A$ 与终点 $B$ 之间相距多远？

（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？

（3）分别求甲、乙两支龙舟队的 $y$ 与 $x$ 函数关系式；

（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？

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今年端午前夕，某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，对某小区居民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成图1、图2两幅统计图（尚不完整），请根据统计图解答下列问题：

（1）参加抽样调查的居民有多少人？

（2）将两幅不完整的统计图补充完整；

（3）若居民区有8000人，请估计爱吃 $D$ 粽的人数．

（4）若有外型完全相同的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 粽各一个，煮熟后，小韦吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是 $C$ 粽的概率．

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如图，已知 $AB$ 为 $⊙ O$ 直径， $D$ 是 $\hat{BC}$ 的中点， $DE ⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于 $E$ ， $⊙ O$ 的切线交 $AD$ 的延长线于 $F$ ．

（1）求证：直线 $DE$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）已知 $DG ⊥ AB$ 且 $DE = 4$ ， $⊙ O$ 的半径为5，求 $\tan ∠ F$ 的值．

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如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ，并与 $x$ 轴交于点 $C$ ，点 $M$ 是抛物线对称轴 $l$ 上任意一点（点 $M$ ， $B$ ， $C$ 三点不在同一直线上）．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在抛物线上找出两点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，使得△ $M P_{1} P_{2}$ 与 $ΔMCB$ 全等，并求出点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的坐标；

（3）在对称轴上是否存在点 $Q$ ，使得 $∠ BQC$ 为直角，若存在，作出点 $Q$ （用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点 $Q$ 的坐标．

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如图，已知在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $AC$ 交于点 $D$ ，点 $E$ 是 $BC$ 的中点，连接 $BD$ ， $DE$ ．

（1）若 $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$ ，求 $\sin C$ ；

（2）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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