如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y=x-1$与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交于 $A$、 $B$两点，其中 $A(m,0)$、 $B(4,n)$，该抛物线与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴交于另一点 $D$．

（1）求 $m$、 $n$的值及该抛物线的解析式；

（2）如图2，若点 $P$为线段 $\mathit{AD}$上的一动点（不与 $A$、 $D$重合），分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{DP}$为斜边，在直线 $\mathit{AD}$的同侧作等腰直角 $\mathit{\Delta APM}$和等腰直角 $\mathit{\Delta DPN}$，连接 $\mathit{MN}$，试确定 $\mathit{\Delta MPN}$面积最大时 $P$点的坐标；

（3）如图3，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，在线段 $\mathit{CD}$上是否存在点 $Q$，使得以 $A$、 $D$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABD}$相似，若存在，请直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．