初中数学二次函数的性质解答题

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$的图象交 $x$轴于点 $A(1,0)$， $B(3,0)$，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点 $P$是直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上的一动点，求 $\mathit{\Delta BCP}$面积的最大值；

（3）直线 $x=m$分别交直线 $\mathit{BC}$和抛物线于点 $M$， $N$，当 $\mathit{\Delta BMN}$是等腰三角形时，直接写出 $m$的值．

已知，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a<0)$与 $x$轴交于 $A(3,0)$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴是直线 $x=1$， $D$为抛物线的顶点，点 $E$在 $y$轴 $C$点的上方，且 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）求证：直线 $\mathit{DE}$是 $\mathit{\Delta ACD}$外接圆的切线；

（3）在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上找一点 $P$，使 $S_{\mathit{\Delta ACP}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $P$的坐标；

（4）在坐标轴上找一点 $M$，使以点 $B$、 $C$、 $M$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似，直接写出点 $M$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+2x+c(a<0)$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B$（点 $A$在原点的左侧，点 $B$在原点的右侧），与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{OB}=\mathit{OC}=3$．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）如图1，连接 $\mathit{BC}$，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的点，连接 $\mathit{OD}$， $\mathit{CD}$． $\mathit{OD}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，当 $S_{\mathit{\Delta COF}}:S_{\mathit{\Delta CDF}}=3:2$时，求点 $D$的坐标．

（3）如图2，点 $E$的坐标为 $(0,-\frac{3}{2})$，点 $P$是抛物线上的点，连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{PB}$， $\mathit{PE}$形成的 $\mathit{\Delta PBE}$中，是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{PBE}$或 $\angle \mathit{PEB}$等于 $2\angle \mathit{OBE}$？若存在，请直接写出符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过 $A(0,-1)$ ， $B(4,1)$ ．直线 $\mathit{AB}$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ， $P$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方抛物线上的一个动点．过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $D$ ， $\mathit{PE}//x$ 轴，交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当 $\mathit{\Delta PDE}$ 的周长取得最大值时，求点 $P$ 的坐标和 $\mathit{\Delta PDE}$ 周长的最大值；

（3）把抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点 $P$ ． $M$ 是新抛物线上一点， $N$ 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形的点 $M$ 的坐标，并把求其中一个点 $M$ 的坐标的过程写出来．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2-5\sqrt{3}x+c(a>0)$的图象与 $x$轴相交于不同的两点 $A(x_1$， $0)$， $B(x_2$， $0)$，且 $x_1<x_2$，

（1）若抛物线的对称轴为 $x=\sqrt{3}$，求 $a$的值；

（2）若 $a=15$，求 $c$的取值范围；

（3）若该抛物线与 $y$轴相交于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$，且 $\angle \mathit{OBD}=60°$，抛物线的对称轴 $l$与 $x$轴相交于点 $E$，点 $F$是直线 $l$上的一点，点 $F$的纵坐标为 $3+\frac{1}{2a}$，连接 $\mathit{AF}$，满足 $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{AFE}$，求该二次函数的解析式．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-2,0)$， $B(4,0)$， $C(0,4)$三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）经过点 $B$的直线交 $y$轴于点 $D$，交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，若 $\mathit{BD}=5\mathit{DE}$．

①求直线 $\mathit{BD}$的解析式；

②已知点 $Q$在该抛物线的对称轴 $l$上，且纵坐标为1，点 $P$是该抛物线上位于第一象限的动点，且在 $l$右侧，点 $R$是直线 $\mathit{BD}$上的动点，若 $\mathit{\Delta PQR}$是以点 $Q$为直角顶点的等腰直角三角形，求点 $P$的坐标．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+1(a\ne 0$， $a$为实数）的图象过点 $A(-2,2)$，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0$， $k$， $b$为实数）的图象 $l$经过点 $B(0,2)$．

（1）求 $a$值并写出二次函数表达式；

（2）求 $b$值；

（3）设直线 $l$与二次函数图象交于 $M$， $N$两点，过 $M$作 $\mathit{MC}$垂直 $x$轴于点 $C$，试证明： $\mathit{MB}=\mathit{MC}$；

（4）在（3）的条件下，请判断以线段 $\mathit{MN}$为直径的圆与 $x$轴的位置关系，并说明理由．

如图①，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$两点，且与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $x$轴，并沿 $x$轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $P$、 $Q$两点（点 $P$在点 $Q$的左侧），连接 $\mathit{PQ}$，在线段 $\mathit{PQ}$上方抛物线上有一动点 $D$，连接 $\mathit{DP}$、 $\mathit{DQ}$．

（Ⅰ）若点 $P$的横坐标为 $-\frac{1}{2}$，求 $\mathit{\Delta DPQ}$面积的最大值，并求此时点 $D$的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $\mathit{\Delta DPQ}$面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+c(a\ne 0)$ 经过点 $P(3,0)$ 、 $Q(1,4)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $A$ 在直线 $\mathit{PQ}$ 上，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp x$ 轴于点 $B$ ，以 $\mathit{AB}$ 为斜边在其左侧作等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$ ．

①当 $Q$ 与 $A$ 重合时，求 $C$ 到抛物线对称轴的距离；

②若 $C$ 在抛物线上，求 $C$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 、 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1） $b=$ 　　， $c=$ 　　；

（2）若点 $D$ 在该二次函数的图象上，且 $S_{\mathit{\Delta ABD}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 是该二次函数图象上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $S_{\mathit{\Delta APC}}=S_{\mathit{\Delta APB}}$ ，写出点 $P$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $x$轴于 $A(-3,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$． $M$为线段 $\mathit{OB}$上的一个动点，过点 $M$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，交抛物线于点 $P$，交 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $N$．设 $M$点的坐标为 $M(m,0)$，请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{PN}$的长，并求出当 $m$为何值时 $\mathit{PN}$有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 $M$在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于点 $C(0,-\frac{4}{3})$， $\mathit{OA}=1$， $\mathit{OB}=4$，直线 $l$过点 $A$，交 $y$轴于点 $D$，交抛物线于点 $E$，且满足 $\tan \angle \mathit{OAD}=\frac{3}{4}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点 $P$从点 $B$出发，沿 $x$轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点 $A$运动，动点 $Q$从点 $A$出发，沿射线 $\mathit{AE}$以每秒1个单位长度的速度向点 $E$运动，当点 $P$运动到点 $A$时，点 $Q$也停止运动，设运动时间为 $t$秒．

①在 $P$、 $Q$的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta ADC}$与 $\mathit{\Delta PQA}$相似，若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

②在 $P$、 $Q$的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta APQ}$与 $\mathit{\Delta CAQ}$的面积之和最大？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B(-5,0)$和点 $C(1,0)$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//x$轴交抛物线于点 $D$．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点 $E$是抛物线上一点，且点 $E$关于 $x$轴的对称点在直线 $\mathit{AD}$上，求 $\mathit{\Delta EAD}$的面积；

（3）若点 $P$是直线 $\mathit{AB}$下方的抛物线上一动点，当点 $P$运动到某一位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标和 $\mathit{\Delta ABP}$的最大面积．