如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 与直线 相交于 , 两点,其中 , .
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点 为直线 下方抛物线上的任意一点,连接 , ,求 面积的最大值;
(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 ,平移后的抛物线与原抛物线相交于点 ,点 为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点 ,使以点 , , , 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,两条抛物线 , 相交于 , 两点,点 在 轴负半轴上,且为抛物线 的最高点.
(1)求抛物线 的解析式和点 的坐标;
(2)点 是抛物线 上 , 之间的一点,过点 作 轴的垂线交 于点 ,当线段 取最大值时,求 .
如图,抛物线 经过点 和 ,与两坐标轴的交点分别为 , , ,它的对称轴为直线 .
(1)求该抛物线的表达式;
(2) 是该抛物线上的点,过点 作 的垂线,垂足为 , 是 上的点.要使以 、 、 为顶点的三角形与 全等,求满足条件的点 ,点 的坐标.
已知抛物线 , , 是常数, 的自变量 与函数值 的部分对应值如下表:
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0 |
1 |
2 |
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0 |
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(1)根据以上信息,可知抛物线开口向 ,对称轴为 ;
(2)求抛物线的表达式及 , 的值;
(3)请在图1中画出所求的抛物线.设点 为抛物线上的动点, 的中点为 ,描出相应的点 ,再把相应的点 用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线?
(4)设直线 与抛物线及(3)中的点 所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为 , , , ,请根据图象直接写出线段 , 之间的数量关系 .
如图,在平面直角坐标系中,二次函数 的图象与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,其顶点为 ,连接 、 、 ,过点 作 轴的垂线 .
(1)求点 , 的坐标;
(2)直线 上是否存在点 ,使 的面积等于 的面积的2倍?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
平面直角坐标系 中,二次函数 的图象与 轴有两个交点.
(1)当 时,求二次函数的图象与 轴交点的坐标;
(2)过点 作直线 轴,二次函数图象的顶点 在直线 与 轴之间(不包含点 在直线 上),求 的范围;
(3)在(2)的条件下,设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 ,求 的面积最大时 的值.
如图,在平面直角坐标系中,二次函数 的图象与 轴交于点 、 (点 在点 的左侧),与 轴交于点 ,过其顶点 作直线 轴,垂足为点 ,连接 、 .
(1)求点 、 、 的坐标;
(2)若 与 相似,求 的值;
(3)点 、 、 、 能否在同一个圆上?若能,求出 的值;若不能,请说明理由.
在平面直角坐标系 中,已知抛物线 为常数).
(1)若抛物线经过点 ,求 的值;
(2)若抛物线经过点 和点 ,且 ,求 的取值范围;
(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线,当 时,新抛物线对应的函数有最小值 ,求 的值.
已知二次函数 为常数).
(1)求证:不论 为何值,该函数的图象与 轴总有公共点;
(2)当 取什么值时,该函数的图象与 轴的交点在 轴的上方?
如图1,图形 是由两个二次函数 与 的部分图象围成的封闭图形.已知 、 、 .
(1)直接写出这两个二次函数的表达式;
(2)判断图形 是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形 上),并说明理由;
(3)如图2,连接 , , ,在坐标平面内,求使得 与 相似(其中点 与点 是对应顶点)的点 的坐标.
如图,抛物线 交 轴正半轴于点 ,直线 经过抛物线的顶点 .已知该抛物线的对称轴为直线 ,交 轴于点 .
(1)求 , 的值.
(2) 是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接 , .设点 的横坐标为 , 的面积为 ,记 .求 关于 的函数表达式及 的范围.
如图,抛物线 过点 ,矩形 的边 在线段 上(点 在点 的左边),点 , 在抛物线上.设 ,当 时, .
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当 为何值时,矩形 的周长有最大值?最大值是多少?
(3)保持 时的矩形 不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 , ,且直线 平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
已知,点 为二次函数 图象的顶点,直线 分别交 轴正半轴, 轴于点 , .
(1)判断顶点 是否在直线 上,并说明理由.
(2)如图1,若二次函数图象也经过点 , ,且 ,根据图象,写出 的取值范围.
(3)如图2,点 坐标为 ,点 在 内,若点 , , , 都在二次函数图象上,试比较 与 的大小.
设二次函数 , 是常数, .
(1)判断该二次函数图象与 轴的交点的个数,说明理由.
(2)若该二次函数图象经过 , , 三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式.
(3)若 ,点 , 在该二次函数图象上,求证: .