初中数学二次函数的性质试题

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过平行四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $B$， $D(5,2)\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为点 $E$．点 $A$在 $y$轴正半轴上，点 $B$在 $x$轴负半轴上，点 $C$在 $x$轴正半轴上，且 $\tan \angle \mathit{BAO}=\frac{1}{2}$．

（1）求二次函数的表达式，并判断点 $C$是否在该函数图象上；

（2）点 $F$是线段 $\mathit{AD}$上一点，在线段 $\mathit{AD}$下方作 $\angle \mathit{HFK}=90°$．

①当点 $F$运动时，使 $\angle \mathit{HFK}$的一边 $\mathit{FH}$始终过点 $O$，另一边 $\mathit{FK}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $N$，（不含点 $D$与 $N$重合的情形）设 $\mathit{AF}=n$， $\mathit{DN}=m$，求 $m$关于 $n$的函数关系式，并求出 $m$的取值范围．

②当 $\mathit{AF}=1$时，将 $\angle \mathit{HFK}$绕点 $F$旋转，一条边 $\mathit{FH}$交线段 $\mathit{OA}$于点 $P$，另一条边 $\mathit{FK}$交线段 $\mathit{OE}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PQ}$，以 $\mathit{PQ}$为直径作 $\odot M$，设圆心 $M$的坐标为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$之间的函数关系式，并直接写出点 $P$从点 $O$运动到点 $A$时圆心 $M$运动的路径长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$的对称轴是直线 $x=1$，与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-2,0)$，点 $P$为抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点 $P$在第一象限内，当 $\mathit{OD}=4\mathit{PE}$时，求四边形 $\mathit{POBE}$的面积；

（3）在（2）的条件下，若点 $M$为直线 $\mathit{BC}$上一点，点 $N$为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 $M$和点 $N$，使得以点 $B$， $D$， $M$， $N$为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的两个交点分别为 $A(3,0)$， $D(-1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$在 $y$轴正半轴上，且 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线的顶点为点 $E$，对称轴交 $x$轴于点 $M$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{AB}$，请在抛物线的对称轴上找一点 $Q$，使 $\angle \mathit{QBA}=\angle \mathit{BEM}$，求出点 $Q$的坐标；

（3）如图2，过点 $C$作 $\mathit{CF}//x$轴，交抛物线于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$，点 $G$是 $x$轴上一点，在抛物线上是否存在点 $N$，使以点 $B$， $F$， $G$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中， $O$是坐标原点，抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{12}{x}^2-\frac{\sqrt{3}}{3}x+8\sqrt{3}$与 $x$轴正半轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，连接 $\mathit{AB}$，点 $M$， $N$分别是 $\mathit{OA}$， $\mathit{AB}$的中点， $\text{Rt}\Delta \text{CDE}\cong \text{Rt}\Delta \text{ABO}$，且 $\mathit{\Delta CDE}$始终保持边 $\mathit{ED}$经过点 $M$，边 $\mathit{CD}$经过点 $N$，边 $\mathit{DE}$与 $y$轴交于点 $H$，边 $\mathit{CD}$与 $y$轴交于点 $G$．

（1）填空： $\mathit{OA}$的长是　， $\angle \mathit{ABO}$的度数是　　度；

（2）如图2，当 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，连接 $\mathit{HN}$．

①求证：四边形 $\mathit{AMHN}$是平行四边形；

②判断点 $D$是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；

（3）如图3，当边 $\mathit{CD}$经过点 $O$时，（此时点 $O$与点 $G$重合），过点 $D$作 $\mathit{DQ}//\mathit{OB}$，交 $\mathit{AB}$延长线上于点 $Q$，延长 $\mathit{ED}$到点 $K$，使 $\mathit{DK}=\mathit{DN}$，过点 $K$作 $\mathit{KI}//\mathit{OB}$，在 $\mathit{KI}$上取一点 $P$，使得 $\angle \mathit{PDK}=45°$（点 $P$， $Q$在直线 $\mathit{ED}$的同侧），连接 $\mathit{PQ}$，请直接写出 $\mathit{PQ}$的长．

如图，直线 $y=-2x+4$交 $y$轴于点 $A$，交抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$于点 $B(3,-2)$，抛物线经过点 $C(-1,0)$，交 $y$轴于点 $D$，点 $P$是抛物线上的动点，作 $\mathit{PE}\perp \mathit{DB}$交 $\mathit{DB}$所在直线于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\mathit{\Delta PDE}$为等腰直角三角形时，求出 $\mathit{PE}$的长及 $P$点坐标；

（3）在（2）的条件下，连接 $\mathit{PB}$，将 $\mathit{\Delta PBE}$沿直线 $\mathit{AB}$翻折，直接写出翻折点后 $E$的对称点坐标．

如图1，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-2\sqrt{3}$， $0)$、 $B(0,-2)$两点，点 $C$在 $y$轴上， $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形，点 $D$从点 $A$出发，沿 $\mathit{AB}$方向以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$运动，设运动时间为 $t$秒 $(t>0)$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，以 $\mathit{DE}$为边作矩形 $\mathit{DEGF}$，使点 $F$在 $x$轴上，点 $G$在 $\mathit{AC}$或 $\mathit{AC}$的延长线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将矩形 $\mathit{DEGF}$沿 $\mathit{GF}$所在直线翻折，得矩形 $D^{\text{'}}{E}^{\text{'}}\mathit{GF}$，当点 $D$的对称点 $D^{\text{'}}$落在抛物线上时，求此时点 $D^{\text{'}}$的坐标；

（3）如图2，在 $x$轴上有一点 $M(2\sqrt{3}$， $0)$，连接 $\mathit{BM}$、 $\mathit{CM}$，在点 $D$的运动过程中，设矩形 $\mathit{DEGF}$与四边形 $\mathit{ABMC}$重叠部分的面积为 $S$，直接写出 $S$与 $t$之间的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴为直线 $x=-1$，且抛物线经过 $A(1,0)$， $C(0,3)$两点，与 $x$轴交于点 $B$．

（1）若直线 $y=\mathit{mx}+n$经过 $B$、 $C$两点，求直线 $\mathit{BC}$和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴 $x=-1$上找一点 $M$，使点 $M$到点 $A$的距离与到点 $C$的距离之和最小，求出点 $M$的坐标；

（3）设点 $P$为抛物线的对称轴 $x=-1$上的一个动点，求使 $\mathit{\Delta BPC}$为直角三角形的点 $P$的坐标．

如图1，已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$顶点 $A$的坐标为 $(2,6)$，点 $B$在 $y$轴上，且 $\mathit{AD}//\mathit{BC}//x$轴，过 $B$， $C$， $D$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(2,2)$，点 $F(m,6)$是线段 $\mathit{AD}$上一动点，直线 $\mathit{OF}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设四边形 $\mathit{ABEF}$的面积为 $S$，请求出 $S$与 $m$的函数关系式，并写出自变量 $m$的取值范围；

（3）如图2，过点 $F$作 $\mathit{FM}\perp x$轴，垂足为 $M$，交直线 $\mathit{AC}$于 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为 $N$，连接 $\mathit{MN}$，直线 $\mathit{AC}$分别交 $x$轴， $y$轴于点 $H$， $G$，试求线段 $\mathit{MN}$的最小值，并直接写出此时 $m$的值．

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点，其中点 $A(0,1)$，点 $B(-9,10)$， $\mathit{AC}//x$轴，点 $P$是直线 $\mathit{AC}$下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $P$且与 $y$轴平行的直线 $l$与直线 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$分别交于点 $E$、 $F$，当四边形 $\mathit{AECP}$的面积最大时，求点 $P$的坐标；

（3）当点 $P$为抛物线的顶点时，在直线 $\mathit{AC}$上是否存在点 $Q$，使得以 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，若存在，求出点 $Q$的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-2,0)$，点 $B(4,0)$，点 $D(2,4)$，与 $y$轴交于点 $C$，作直线 $\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{CD}$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2） $E$是抛物线上的点，求满足 $\angle \mathit{ECD}=\angle \mathit{ACO}$的点 $E$的坐标；

（3）点 $M$在 $y$轴上且位于点 $C$上方，点 $N$在直线 $\mathit{BC}$上，点 $P$为第一象限内抛物线上一点，若以点 $C$， $M$， $N$， $P$为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．

如图1，抛物线 $y=-\frac{3}{5}[{(x-2)}^2+n]$与 $x$轴交于点 $A(m-2,0)$和 $B(2m+3,0)$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求 $m$、 $n$的值；

（2）如图2，点 $N$为抛物线上的一动点，且位于直线 $\mathit{BC}$上方，连接 $\mathit{CN}$、 $\mathit{BN}$．求 $\mathit{\Delta NBC}$面积的最大值；

（3）如图3，点 $M$、 $P$分别为线段 $\mathit{BC}$和线段 $\mathit{OB}$上的动点，连接 $\mathit{PM}$、 $\mathit{PC}$，是否存在这样的点 $P$，使 $\mathit{\Delta PCM}$为等腰三角形， $\mathit{\Delta PMB}$为直角三角形同时成立？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-2x+10$与 $x$轴， $y$轴相交于 $A$， $B$两点，点 $C$的坐标是 $(8,4)$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求过 $O$， $A$， $C$三点的抛物线的解析式，并判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状；

（2）动点 $P$从点 $O$出发，沿 $\mathit{OB}$以每秒2个单位长度的速度向点 $B$运动；同时，动点 $Q$从点 $B$出发，沿 $\mathit{BC}$以每秒1个单位长度的速度向点 $C$运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时， $\mathit{PA}=\mathit{QA}$？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 $M$，使以 $A$， $B$， $M$为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$， $B(9,0)$和 $C(0,4)$． $\mathit{CD}$垂直于 $y$轴，交抛物线于点 $D$， $\mathit{DE}$垂直与 $x$轴，垂足为 $E$， $l$是抛物线的对称轴，点 $F$是抛物线的顶点．

（1）求出二次函数的表达式以及点 $D$的坐标；

（2）若 $\text{Rt}\Delta \text{AOC}$沿 $x$轴向右平移到其直角边 $\mathit{OC}$与对称轴 $l$重合，再沿对称轴 $l$向上平移到点 $C$与点 $F$重合，得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1{O}_{1}F$，求此时 $\mathit{Rt}$△ $A_1{O}_{1}F$与矩形 $\mathit{OCDE}$重叠部分的图形的面积；

（3）若 $\text{Rt}\Delta \text{AOC}$沿 $x$轴向右平移 $t$个单位长度 $(0<t⩽6)$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_2{O}_2{C}_2$， $\mathit{Rt}$△ $A_2{O}_2{C}_2$与 $\text{Rt}\Delta \text{OED}$重叠部分的图形面积记为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数表达式，并写出自变量 $t$的取值范围．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(-2,-3)$，直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $D$， $E$为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点 $E$在直线 $\mathit{BC}$的上方，过 $E$分别作 $\mathit{BC}$和 $y$轴的垂线，交直线 $\mathit{BC}$于不同的两点 $F$， $G(F$在 $G$的左侧），求 $\mathit{\Delta EFG}$周长的最大值；

（3）是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta EDB}$是以 $\mathit{BD}$为直角边的直角三角形？如果存在，求点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(-2,-3)$，直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $D$， $E$为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点 $E$在直线 $\mathit{BC}$的上方，过 $E$分别作 $\mathit{BC}$和 $y$轴的垂线，交直线 $\mathit{BC}$于不同的两点 $F$， $G(F$在 $G$的左侧），求 $\mathit{\Delta EFG}$周长的最大值；

（3）是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta EDB}$是以 $\mathit{BD}$为直角边的直角三角形？如果存在，求点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由．