初中数学反比例函数与一次函数的交点问题解答题

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y_1=\mathit{ax}+b$的图象与反比例函数 $y_2=\frac{k}{x}$的图象交于点 $A(1,2)$和 $B(-2,m)$．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）请直接写出 $y_1>y_2$时， $x$的取值范围；

（3）过点 $B$作 $\mathit{BE}//x$轴， $\mathit{AD}\perp \mathit{BE}$于点 $D$，点 $C$是直线 $\mathit{BE}$上一点，若 $\mathit{AC}=2\mathit{CD}$，求点 $C$的坐标．

如图，直线 $y=\mathit{kx}(k$为常数， $k\ne 0)$与双曲线 $y=\frac{m}{x}(m$为常数， $m>0)$的交点为 $A$、 $B$， $\mathit{AC}\perp x$轴于点 $C$， $\angle \mathit{AOC}=30°$， $\mathit{OA}=2$．

（1）求 $m$的值；

（2）点 $P$在 $y$轴上，如果 $S_{\mathit{\Delta ABP}}=3k$，求 $P$点的坐标．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $A$、 $B$、 $C$的坐标分别是 $(1,0)$、 $(3,1)$、 $(3,3)$，双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$过点 $D$．

（1）求双曲线的解析式；

（2）作直线 $\mathit{AC}$交 $y$轴于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，求 $\mathit{\Delta CDE}$的面积．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象相交于 $A(1,2)$ ， $B(n,-1)$ 两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）直线 $\mathit{AB}$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上的点，若 $\mathit{\Delta ACP}$ 的面积是4，求点 $P$ 的坐标．

已知直线 $l_1:y=x+3$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，且与双曲线 $y=\frac{k}{x}$交于点 $C(1,a)$．

（1）试确定双曲线的函数表达式；

（2）将 $l_1$沿 $y$轴翻折后，得到 $l_2$，画出 $l_2$的图象，并求出 $l_2$的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，点 $P$是线段 $\mathit{AC}$上点（不包括端点），过点 $P$作 $x$轴的平行线，分别交 $l_2$于点 $M$，交双曲线于点 $N$，求 $S_{\mathit{\Delta AMN}}$的取值范围．

一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的图象经过点 $A(2,-6)$，且与反比例函数 $y=-\frac{12}{x}$的图象交于点 $B(a,4)$．

（1）求一次函数的解析式；

（2）将直线 $\mathit{AB}$向上平移10个单位后得到直线 $l:y_1=k_{1}x+b_1(k_1\ne 0)$， $l$与反比例函数 $y_2=\frac{6}{x}$的图象相交，求使 $y_1<y_2$成立的 $x$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中， $O$为坐标原点， $\mathit{\Delta ABO}$的边 $\mathit{AB}$垂直与 $x$轴，垂足为点 $B$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过 $\mathit{AO}$的中点 $C$，且与 $\mathit{AB}$相交于点 $D$， $\mathit{OB}=4$， $\mathit{AD}=3$，

（1）求反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的解析式；

（2）求 $\cos \angle \mathit{OAB}$的值；

（3）求经过 $C$、 $D$两点的一次函数解析式．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，一次函数 $y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象相交于点 $A(a,3)$ ，与 $x$ 轴相交于点 $B$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）过点 $A$ 的直线交反比例函数的图象于另一点 $C$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $D$ ，当 $\mathit{\Delta ABD}$ 是以 $\mathit{BD}$ 为底的等腰三角形时，求直线 $\mathit{AD}$ 的函数表达式及点 $C$ 的坐标．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数， $k\ne 0)$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，且与反比例函数 $y=\frac{n}{x}(n$为常数，且 $n\ne 0)$的图象在第二象限交于点 $C$． $\mathit{CD}\perp x$轴，垂足为 $D$，若 $\mathit{OB}=2\mathit{OA}=3\mathit{OD}=12$．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）记两函数图象的另一个交点为 $E$，求 $\mathit{\Delta CDE}$的面积；

（3）直接写出不等式 $\mathit{kx}+b⩽\frac{n}{x}$的解集．

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y=x+|-2x+6|+m$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

$x$	$\dots$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	6	5	4	$a$	2	1	$b$	7	$\dots$

（1）写出函数关系式中 $m$ 及表格中 $a$ ， $b$ 的值：

$m=$ 　　， $a=$ 　　， $b=$ 　　；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： 　　；

（3）已知函数 $y=\frac{16}{x}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $x+|-2x+6|+m>\frac{16}{x}$ 的解集．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$ 与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$ 的图象交于点 $A(2,3)$ ， $B(n,-1)$ ．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）判断点 $P(-2,1)$ 是否在一次函数 $y=k_{1}x+b$ 的图象上，并说明理由；

（3）写出不等式 $k_{1}x+b⩾\frac{k_2}{x}$ 的解集．

如图，一次函数 $y_1=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}(m\ne 0)$的图象交于

点 $A(1,2)$和 $B(-2,a)$，与 $y$轴交于点 $M$．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）在 $y$轴上取一点 $N$，当 $\mathit{\Delta AMN}$的面积为3时，求点 $N$的坐标；

（3）将直线 $y_1$向下平移2个单位后得到直线 $y_3$，当函数值 $y_1>y_2>y_3$时，求 $x$的取值范围．

如图，正比例函数 $y=\frac{1}{2}x$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ， $\mathit{OB}=4$ ，点 $C$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{AC}=\mathit{OC}$ ．

（1）求 $k$ 的值及线段 $\mathit{BC}$ 的长；

（2）点 $P$ 为 $B$ 点上方 $y$ 轴上一点，当 $\mathit{\Delta POC}$ 与 $\mathit{\Delta PAC}$ 的面积相等时，请求出点 $P$ 的坐标．

如图，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象与正比例函数 $y=2x$的图象相交于 $A(1,a)$， $B$两点，点 $C$在第四象限， $\mathit{CA}//y$轴， $\angle \mathit{ABC}=90°$．

（1）求 $k$的值及点 $B$的坐标；

（2）求 $\tan C$的值．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A$的坐标为 $(0,2)$，点 $B$的坐标为 $(1,0)$，连结 $\mathit{AB}$，以 $\mathit{AB}$为边在第一象限内作正方形 $\mathit{ABCD}$，直线 $\mathit{BD}$交双曲线 $y==\frac{k}{x}(k\ne 0)$于 $D$、 $E$两点，连结 $\mathit{CE}$，交 $x$轴于点 $F$．

（1）求双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$和直线 $\mathit{DE}$的解析式．（2）求 $\mathit{\Delta DEC}$的面积．