初中数学反比例函数与一次函数的交点问题解答题

如图，在平面直角坐标 $\mathit{xOy}$中，正比例函数 $y=\mathit{kx}$的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象都经过点 $A(2,-2)$．

（1）分别求这两个函数的表达式；

（2）将直线 $\mathit{OA}$向上平移3个单位长度后与 $y$轴交于点 $B$，与反比例函数图象在第四象限内的交点为 $C$，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$，求点 $C$的坐标及 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图， $\angle \mathit{AOB}=90°$，反比例函数 $y=-\frac{2}{x}(x<0)$的图象过点 $A(-1,a)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象过点 $B$，且 $\mathit{AB}//x$轴．

（1）求 $a$和 $k$的值；

（2）过点 $B$作 $\mathit{MN}//\mathit{OA}$，交 $x$轴于点 $M$，交 $y$轴于点 $N$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于另一点 $C$，求 $\mathit{\Delta OBC}$的面积．

若抛物线 $L：y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c$（a，b，c是常数， $\mathit{abc}\ne 0$）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．

（1）若直线 $y＝\mathit{mx}+1$与抛物线 $y＝x^2-2x+n$具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数 $y＝\frac{6}{x}$的图象上，它的“带线”l的解析式为 $y＝2x-4$，求此“路线”L的解析式；

（3）当常数k满足 $\frac{1}{2}\le k\le 2$时，求抛物线 $L：y＝a{x}^2+（3k^2﹣2k+1）x+k$的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．

如图，函数 $y=x$的图象与函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象相交于点 $P(2,m)$．

（1）求 $m$， $k$的值；

（2）直线 $y=4$与函数 $y=x$的图象相交于点 $A$，与函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象相交于点 $B$，求线段 $\mathit{AB}$长．

如图，直线AB与坐标轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C（4，n），求一次函数和反比例函数的解析式．

已知一次函数 $y=\mathit{kx}+b$与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象交于 $A(-3,2)$、 $B(1,n)$两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积；

（3）点 $P$在 $x$轴上，当 $\mathit{\Delta PAO}$为等腰三角形时，直接写出点 $P$的坐标．

如图，直线 $y＝\mathit{ax}+b$与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$的图象交于A（1，4），B（4，n）两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．

（1）m＝　 　，n＝　 　；若 $M（x_1，y_1\mathit{），}N（x_2，y_2）$是反比例函数图象上两点，且 $0＜x_1＜x_2$，则y₁　 　y₂（填“＜”或“＝”或“＞”）；

（2）若线段CD上的点P到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标．

如图，点 $P$ 为函数 $y=\frac{1}{2}x+1$ 与函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$ 图象的交点，点 $P$ 的纵坐标为4， $\mathit{PB}\perp x$ 轴，垂足为点 $B$ ．

（1）求 $m$ 的值；

（2）点 $M$ 是函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$ 图象上一动点，过点 $M$ 作 $\mathit{MD}\perp \mathit{BP}$ 于点 $D$ ，若 $\tan \angle \mathit{PMD}=\frac{1}{2}$ ，求点 $M$ 的坐标．

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y=x+|-2x+6|+m$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

$x$	$\dots$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	6	5	4	$a$	2	1	$b$	7	$\dots$

（1）写出函数关系式中 $m$ 及表格中 $a$ ， $b$ 的值：

$m=$ 　　， $a=$ 　　， $b=$ 　　；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： 　　；

（3）已知函数 $y=\frac{16}{x}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $x+|-2x+6|+m>\frac{16}{x}$ 的解集．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$ 与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$ 的图象交于点 $A(2,3)$ ， $B(n,-1)$ ．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）判断点 $P(-2,1)$ 是否在一次函数 $y=k_{1}x+b$ 的图象上，并说明理由；

（3）写出不等式 $k_{1}x+b⩾\frac{k_2}{x}$ 的解集．

如图，一次函数 $y_1=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}(m\ne 0)$的图象交于

点 $A(1,2)$和 $B(-2,a)$，与 $y$轴交于点 $M$．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）在 $y$轴上取一点 $N$，当 $\mathit{\Delta AMN}$的面积为3时，求点 $N$的坐标；

（3）将直线 $y_1$向下平移2个单位后得到直线 $y_3$，当函数值 $y_1>y_2>y_3$时，求 $x$的取值范围．

如图，正比例函数 $y=\frac{1}{2}x$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ， $\mathit{OB}=4$ ，点 $C$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{AC}=\mathit{OC}$ ．

（1）求 $k$ 的值及线段 $\mathit{BC}$ 的长；

（2）点 $P$ 为 $B$ 点上方 $y$ 轴上一点，当 $\mathit{\Delta POC}$ 与 $\mathit{\Delta PAC}$ 的面积相等时，请求出点 $P$ 的坐标．

如图，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象与正比例函数 $y=2x$的图象相交于 $A(1,a)$， $B$两点，点 $C$在第四象限， $\mathit{CA}//y$轴， $\angle \mathit{ABC}=90°$．

（1）求 $k$的值及点 $B$的坐标；

（2）求 $\tan C$的值．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A$的坐标为 $(0,2)$，点 $B$的坐标为 $(1,0)$，连结 $\mathit{AB}$，以 $\mathit{AB}$为边在第一象限内作正方形 $\mathit{ABCD}$，直线 $\mathit{BD}$交双曲线 $y==\frac{k}{x}(k\ne 0)$于 $D$、 $E$两点，连结 $\mathit{CE}$，交 $x$轴于点 $F$．

（1）求双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$和直线 $\mathit{DE}$的解析式．（2）求 $\mathit{\Delta DEC}$的面积．

已知，如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数， $k\ne 0)$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，且与反比例函数 $y=\frac{n}{x}(n$为常数且 $n\ne 0)$的图象在第二象限交于点 $C$． $\mathit{CD}\perp x$轴，垂足为 $D$，若 $\mathit{OB}=2\mathit{OA}=3\mathit{OD}=6$．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求两函数图象的另一个交点坐标；

（3）直接写出不等式： $\mathit{kx}+b⩽\frac{n}{x}$的解集．