初中数学一次函数的性质试题

如图，直线 $y=\frac{1}{2}x+1$与 $x$， $y$轴分别交于点 $B$， $A$，顶点为 $P$的抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$过点 $A$．

（1）求出点 $A$， $B$的坐标及 $c$的值；

（2）若函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$在 $3⩽x⩽4$时有最大值为 $a+2$，求 $a$的值；

（3）连接 $\mathit{AP}$，过点 $A$作 $\mathit{AP}$的垂线交 $x$轴于点 $M$．设 $\mathit{\Delta BMP}$的面积为 $S$．

①直接写出 $S$关于 $a$的函数关系式及 $a$的取值范围；

②结合 $S$与 $a$的函数图象，直接写出 $S>\frac{1}{8}$时 $a$的取值范围．

如图，直线 $y=-\frac{3}{2}x+6$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $A$，点 $P$为线段 $\mathit{AB}$的中点，点 $Q$是线段 $\mathit{OA}$上一动点（不与点 $O$、 $A$重合）．

（1）请直接写出点 $A$、点 $B$、点 $P$的坐标；

（2）连接 $\mathit{PQ}$，在第一象限内将 $\mathit{\Delta OPQ}$沿 $\mathit{PQ}$翻折得到 $\mathit{\Delta EPQ}$，点 $O$的对应点为点 $E$．若 $\angle \mathit{OQE}=90°$，求线段 $\mathit{AQ}$的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线 $y=a{x}^2-2a^{2}x+a^3+a+1(a\ne 0)$的顶点为点 $C$．

①若点 $C$在 $\mathit{\Delta PQE}$内部（不包括边），求 $a$的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点 $C$，使 $|\mathit{CQ}-\mathit{CE}|$最大？若存在，请直接写出点 $C$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图：一次函数 $y=-\frac{3}{4}x+3$ 的图象与坐标轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 是函数 $y=-\frac{3}{4}x+3(0<x<4)$ 图象上任意一点，过点 $P$ 作 $\mathit{PM}\perp y$ 轴于点 $M$ ，连接 $\mathit{OP}$ ．

（1）当 $\mathit{AP}$ 为何值时， $\mathit{\Delta OPM}$ 的面积最大？并求出最大值；

（2）当 $\mathit{\Delta BOP}$ 为等腰三角形时，试确定点 $P$ 的坐标．

如图，直线 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数）分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $A(-4,0)$、 $B(0,3)$，抛物线 $y=-x^2+2x+1$与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求直线 $y=\mathit{kx}+b$的函数解析式；

（2）若点 $P(x,y)$是抛物线 $y=-x^2+2x+1$上的任意一点，设点 $P$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $d$，求 $d$关于 $x$的函数解析式，并求 $d$取最小值时点 $P$的坐标；

（3）若点 $E$在抛物线 $y=-x^2+2x+1$的对称轴上移动，点 $F$在直线 $\mathit{AB}$上移动，求 $\mathit{CE}+\mathit{EF}$的最小值．

【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ $\sqrt{\left(\right)}$”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．

【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘常数 $k$，再加上常数 $b$”的运算，有什么规律？

【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图 $a)$．

也可用图象描述：如图1，在 $x$轴上表示出 $x_1$，先在直线 $y=\mathit{kx}+b$上确定点 $(x_1$， $y_1)$，再在直线 $y=x$上确定纵坐标为 $y_1$的点 $(x_2$， $y_1)$，然后在 $x$轴上确定对应的数 $x_2$， $\dots$，以此类推．

【解决问题】研究输入实数 $x_1$时，随着运算次数 $n$的不断增加，运算结果 $x_n$，怎样变化．

（1）若 $k=2$， $b=-4$，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；

（2）若 $k>1$，又得到什么结论？请说明理由；

（3）①若 $k=-\frac{2}{3}$， $b=2$，已在 $x$轴上表示出 $x_1$（如图2所示），请在 $x$轴上表示 $x_2$， $x_3$， $x_4$，并写出研究结论；

②若输入实数 $x_1$时，运算结果 $x_n$互不相等，且越来越接近常数 $m$，直接写出 $k$的取值范围及 $m$的值（用含 $k$， $b$的代数式表示）

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$ 过点 $A(-3,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 为直线 $\mathit{CD}$ 上的一个动点，连接 $\mathit{BC}$ ；

①如图1，是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{BCO}$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

②如图2，点 $P$ 在 $x$ 轴上方，连接 $\mathit{PA}$ 交抛物线于点 $N$ ， $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{BCO}$ ，点 $M$ 在第三象限抛物线上，连接 $\mathit{MN}$ ，当 $\angle \mathit{ANM}=45°$ 时，请直接写出点 $M$ 的坐标．

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $\mathit{OA}$ 交二次函数 $y=\frac{1}{4}{x}^2$ 的图象于点 $A$ ， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，点 $B$ 在该二次函数的图象上，设过点 $(0,m)$ （其中 $m>0)$ 且平行于 $x$ 轴的直线交直线 $\mathit{OA}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{OB}$ 于点 $N$ ，以线段 $\mathit{OM}$ 、 $\mathit{ON}$ 为邻边作矩形 $\mathit{OMPN}$ ．

（1）若点 $A$ 的横坐标为8．

①用含 $m$ 的代数式表示 $M$ 的坐标；

②点 $P$ 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 $m$ 的值；若不能，请说明理由．

（2）当 $m=2$ 时，若点 $P$ 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 $\mathit{OA}$ 的函数表达式．

菱形 $\mathit{ABCD}$在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的交点 $E$恰好在 $y$轴上，过点 $D$和 $\mathit{BC}$的中点 $H$的直线交 $\mathit{AC}$于点 $F$，线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{CD}$的长是方程 $x^2-9x+18=0$的两根，请解答下列问题：

（1）求点 $D$的坐标；

（2）若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象经过点 $H$，则 $k=$　　；

（3）点 $Q$在直线 $\mathit{BD}$上，在直线 $\mathit{DH}$上是否存在点 $P$，使以点 $F$， $C$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知函数 $y_1=x+2m-1$ ， $y_2=(2m+1)x+1$ 均为一次函数， $m$ 为常数．

（1）如图1，将直线 $\mathit{AO}$ 绕点 $A(-1,0)$ 逆时针旋转 $45°$ 得到直线 $l$ ，直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $B$ ．若直线 $l$ 恰好是 $y_1=x+2m-1$ ， $y_2=(2m+1)x+1$ 中某个函数的图象，请直接写出点 $B$ 坐标以及 $m$ 可能的值；

（2）若存在实数 $b$ ，使得 $\left|m\right|-(b-1)\sqrt{1-b}=0$ 成立，求函数 $y_1=x+2m-1$ ， $y_2=(2m+1)x+1$ 图象间的距离；

（3）当 $m>1$ 时，函数 $y_1=x+2m-1$ 图象分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于 $C$ ， $E$ 两点， $y_2=(2m+1)x+1$ 图象交 $x$ 轴于 $D$ 点，将函数 $y=y_1·y_2$ 的图象最低点 $F$ 向上平移 $\frac{56}{2m+1}$ 个单位后刚好落在一次函数 $y_1=x+2m-1$ 图象上．设 $y=y_1·y_2$ 的图象，线段 $\mathit{OD}$ ，线段 $\mathit{OE}$ 围成的图形面积为 $S$ ，试利用初中知识，探究 $S$ 的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到 $S$ 的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01． $)$

【定义】如图1， $A$， $B$为直线 $l$同侧的两点，过点 $A$作直线 $l$的对称点 $A\text{'}$，连接 $A\text{'}B$交直线 $l$于点 $P$，连接 $\mathit{AP}$，则称点 $P$为点 $A$， $B$关于直线 $l$的“等角点”．

【运用】如图2，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A(2,\sqrt{3})$， $B(-2,-\sqrt{3})$两点．

（1） $C(4,\frac{\sqrt{3}}{2})$， $D(4,\frac{\sqrt{2}}{2})$， $E(4,\frac{1}{2})$三点中，点　 $C$　是点 $A$， $B$关于直线 $x=4$的等角点；

（2）若直线 $l$垂直于 $x$轴，点 $P(m,n)$是点 $A$， $B$关于直线 $l$的等角点，其中 $m>2$， $\angle \mathit{APB}=\alpha$，求证： $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{n}{2}$；

（3）若点 $P$是点 $A$， $B$关于直线 $y=\mathit{ax}+b(a\ne 0)$的等角点，且点 $P$位于直线 $\mathit{AB}$的右下方，当 $\angle \mathit{APB}=60°$时，求 $b$的取值范围（直接写出结果）．

已知：如图，一次函数 $y=\mathit{kx}-1$的图象经过点 $A(3\sqrt{5}$， $m\left)\right(m>0)$，与 $y$轴交于点 $B$．点 $C$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{BC}=2\mathit{AC}$，过点 $C$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$．若 $\mathit{AC}=\mathit{CD}$．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $\mathit{CD}$为对称轴的抛物线经过点 $A$，它的顶点为 $P$，若过点 $P$且垂直于 $\mathit{AP}$的直线与 $x$轴的交点为 $Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5}$， $0)$，求这条抛物线的函数表达式．

如图，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $C$ ，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ，点 $C$ ，且交 $x$ 轴于另一点 $B$ ．

（1）直接写出点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 的坐标及拋物线的解析式；

（2）在直线 $\mathit{AC}$ 上方的抛物线上有一点 $M$ ，求四边形 $\mathit{ABCM}$ 面积的最大值及此时点 $M$ 的坐标；

（3）将线段 $\mathit{OA}$ 绕 $x$ 轴上的动点 $P(m,0)$ 顺时针旋转 $90°$ 得到线段 $O\text{'}A\text{'}$ ，若线段 $O\text{'}A\text{'}$ 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求 $m$ 的取值范围．

在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+4\mathit{ax}+4a-6(a>0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）当 $a=6$ 时，直接写出点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的坐标：

$A$ 　　， $B$ 　　， $C$ 　　， $D$ 　　；

（2）如图1，直线 $\mathit{DC}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若 $\tan \angle \mathit{AED}=\frac{4}{3}$ ，求 $a$ 的值和 $\mathit{CE}$ 的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，若点 $N$ 为 $\mathit{OC}$ 的中点，动点 $P$ 在第三象限的抛物线上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $Q$ ，交 $\mathit{AN}$ 于点 $F$ ；过点 $F$ 作 $\mathit{FH}\perp \mathit{DE}$ ，垂足为 $H$ ．设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，记 $f=\mathit{FP}+\mathit{FH}$ ．

①用含 $t$ 的代数式表示 $f$ ；

②设 $-5<t⩽m(m<0)$ ，求 $f$ 的最大值．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=-\frac{2}{3}x+4$的图象与 $x$轴和 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点．动点 $P$从点 $A$出发，在线段 $\mathit{AO}$上以每秒3个单位长度的速度向点 $O$作匀速运动，到达点 $O$停止运动，点 $A$关于点 $P$的对称点为点 $Q$，以线段 $\mathit{PQ}$为边向上作正方形 $\mathit{PQMN}$．设运动时间为 $t$秒．

（1）当 $t=\frac{1}{3}$秒时，点 $Q$的坐标是　　；

（2）在运动过程中，设正方形 $\mathit{PQMN}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数表达式；

（3）若正方形 $\mathit{PQMN}$对角线的交点为 $T$，请直接写出在运动过程中 $\mathit{OT}+\mathit{PT}$的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+5$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $A$、 $B$（如图）．抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$经过点 $A$．

[小题1]求线段 $\mathit{AB}$的长；

[小题2]如果抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过线段 $\mathit{AB}$上的另一点 $C$，且 $\mathit{BC}=\sqrt{5}$，求这条抛物线的表达式；

[小题3]如果抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的顶点 $D$位于 $\mathit{\Delta AOB}$内，求 $a$的取值范围．