如图，直线y12x1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛

如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别交于点 $B$ ， $A$ ，顶点为 $P$ 的抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax + c$ 过点 $A$ ．

（1）求出点 $A$ ， $B$ 的坐标及 $c$ 的值；

（2）若函数 $y = a x^{2} - 2 ax + c$ 在 $3 ⩽ x ⩽ 4$ 时有最大值为 $a + 2$ ，求 $a$ 的值；

（3）连接 $AP$ ，过点 $A$ 作 $AP$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $M$ ．设 $ΔBMP$ 的面积为 $S$ ．

①直接写出 $S$ 关于 $a$ 的函数关系式及 $a$ 的取值范围；

②结合 $S$ 与 $a$ 的函数图象，直接写出 $S > \frac{1}{8}$ 时 $a$ 的取值范围．

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先化简，再求值．

$(\frac{5 a + 3 b}{a^{2} - b^{2}} + \frac{8 b}{b^{2} - a^{2}}) \div \frac{1}{a^{2} b + a b^{2}}$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 1$ ．

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如图，抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax + c$ 的图象经过点 $C (0, - 2)$ ，顶点 $D$ 的坐标为 $(1, - \frac{8}{3})$ ，与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接 $AC$ ， $E$ 为直线 $AC$ 上一点，当 $ΔAOC ∽ ΔAEB$ 时，求点 $E$ 的坐标和 $\frac{AE}{AB}$ 的值．

（3）点 $F (0, y)$ 是 $y$ 轴上一动点，当 $y$ 为何值时， $\frac{\sqrt{5}}{5} FC + BF$ 的值最小．并求出这个最小值．

（4）点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $H$ ，当 $\frac{\sqrt{5}}{5} FC + BF$ 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点 $Q$ ，使 $ΔQHF$ 是直角三角形？若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 是直径， $BC$ 是弦， $BC = BD$ ，连接 $CD$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ， $∠ BCD = ∠ DBE$ ．

（1）求证： $BD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）过点 $E$ 作 $EF ⊥ AB$ 于 $F$ ，交 $BC$ 于 $G$ ，已知 $DE = 2 \sqrt{10}$ ， $EG = 3$ ，求 $BG$ 的长．

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某县有 $A$ 、 $B$ 两个大型蔬菜基地，共有蔬菜700吨．若将 $A$ 基地的蔬菜全部运往甲市所需费用与 $B$ 基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同．从 $A$ 、 $B$ 两基地运往甲、乙两市的运费单价如下表：

（1）求 $A$ 、 $B$ 两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？

（2）现甲市需要蔬菜260吨，乙市需要蔬菜440吨．设从 $A$ 基地运送 $m$ 吨蔬菜到甲市，请问怎样调运可使总运费最少？

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如图，已知 $∠ AOB = 90 °$ ， $∠ OAB = 30 °$ ，反比例函数 $y = - \frac{3}{x} (x < 0)$ 的图象过点 $B (- 3, a)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象过点 $A$ ．

（1）求 $a$ 和 $k$ 的值；

（2）过点 $B$ 作 $BC / / x$ 轴，与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于点 $C$ ．求 $ΔOAC$ 的面积．

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