如图，直线 $y=\frac{1}{2}x+1$与 $x$， $y$轴分别交于点 $B$， $A$，顶点为 $P$的抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$过点 $A$．

（1）求出点 $A$， $B$的坐标及 $c$的值；

（2）若函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$在 $3⩽x⩽4$时有最大值为 $a+2$，求 $a$的值；

（3）连接 $\mathit{AP}$，过点 $A$作 $\mathit{AP}$的垂线交 $x$轴于点 $M$．设 $\mathit{\Delta BMP}$的面积为 $S$．

①直接写出 $S$关于 $a$的函数关系式及 $a$的取值范围；

②结合 $S$与 $a$的函数图象，直接写出 $S>\frac{1}{8}$时 $a$的取值范围．