高中数学试题

记 $U=\{1,2,\cdots ,100\}$. 对数列 $\left\{a_n\right\}\left(n\in N^{*}\right)$ 和 $U$ 的子集 $\mathrm{T}$, 若 $T=\varnothing$, 定义 $S_T=0;$ 若

$T=\left\{t_1,t_2,\cdots ,t_k\right\}$, 定 义 $S_T=a_{t_1}+a_{t_2}+\cdots +a_{t_k}$. 例 如 : $\mathrm{}T=\{1,3,66\}$ 时 ,

$S_T=a_1+a_3+a_{66}.$ 现设 $\left\{a_n\right\}\left(n\in N^{*}\right)$ 是公比为 3 的等比数列, 且当 $T=\{2,4\}$ 时,

$S_T=30$

(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;

(2) 对任意正整数 $k(1\le k\le 100)$, 若 $T\subseteq \{1,2,\cdots ,\mathrm{k}\}$, 求证: $S_T<a_{k+1}$;

(3) 设 $C\subseteq U,D\subseteq U,S_C\ge S_D$, 求证: $S_C+S_{C\cap D}\ge 2S_D$.

已知函数 $f\left(x\right)=a^x+b^x(a>0,b>0,a\ne 1,b\ne 1)$.

（1）设 $a=2,b=\frac{1}{2}$.

①求方程 $f\left(x\right)=2$ 的根;

②若对任意 $x\in R$, 不等式 $f\left(2x\right)\ge m\mathrm{f}\left(x\right)-6$ 恒成立, 求实数 $m$ 的最大值;

（2）若 $0<a<1,b>1$, 函数 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-2$ 有且只有 1 个零点, 求 $\mathit{ab}$ 的值。

如图, 在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中, 已知以 $M$ 为圆心的圆

$M:x^2+y^2-12x-14y+60=0$ 及其上一点 $A(2,4)$

(1) 设圆 $N$ 与 $x$ 轴相切, 与圆 $M$ 外切, 且圆心 $N$ 在直线 $x=6$ 上, 求圆 $N$ 的标准方程;

(2) 设平行于 $\mathit{OA}$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $B,C$ 两点, 且 $\mathit{BC}=\mathit{OA}$, 求直线 $l$ 的方程;

(3) 设点 $T(t,0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$, 使得 $\overrightarrow{\mathit{TA}}+\overrightarrow{\mathit{TP}}=\overrightarrow{\mathit{TQ}}$, 求实数 $t$ 的取值范围。

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱雉 $P-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ ,下部分的形状是正四棱柱 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ (如图所示)，并要求正四棱柱的高 $P{O}_1$ 的四倍.

(1)若 $\mathit{AB}=6m\mathrm{，}{\mathrm{PO}}_1=2m$ ,则仓库的容积是多少?

(2)若正四棱柱的侧棱长为 $6\mathrm{m}$ ，则当 $P{O}_1$ 为多少时,仓库的容积最大？

如图，在直三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $D,E$ 分别为 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}$ 的中点，点 $F$ 在侧棱 $B_{1}B$ 上, 且 $B_{1}D\perp A_{1}F\mathrm{}\mathrm{，}\mathrm{}{A}_1{C}_1\perp A_1{B}_1\mathrm{。}$

求证:（1）直线 $\mathit{DE}//$ 平面 $A_1{C}_{1}F$；

(2) 平面 $B_1\mathit{DE}\perp$ 平面 $A_1{C}_{1}F$；

$\text{在}△\mathit{ABC}\text{中,}\mathit{AC}=6,\cos B=\frac{4}{5},C=\frac{\pi }{4}\text{.}$

(1) 求 $\mathit{AB}$ 的长;

$\text{(2) 求}\cos \left(A-\frac{\pi }{6}\right)\text{的值}$；

在 锐角三角形 $\mathit{ABC}$ 中, 若 $\sin A=2\sin B\sin C$, 则 $\tan A\tan B\tan C$ 的最小值是 。

如图，在 $△\mathit{ABC}$ 中， $D$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点， $E\mathrm{，}F$ 是 $A\mathrm{，}D$ 上的两个三等分点， $\overrightarrow{\mathit{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathit{CA}}=4$， $\overrightarrow{\mathit{BF}}\cdot \overrightarrow{\mathit{CF}}=-1$，则 $\overrightarrow{\mathit{BE}}\cdot \overrightarrow{\mathit{CE}}$ 的值是________。

已知实数 $x,y$ 满足 $\left\{\begin{array}{c}x-2y+4\ge 0\\ 2x+y-2\ge 0\\ 3x-y-3\le 0\end{array}\right.$， 则 $x^2+y^2$ 的取值范围是 。

设 $f\left(x\right)$ 是定义在 $R$ 上且周期为 2 的函数，在区间 $[-1\mathrm{，}1)$ 上，

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}x+a\mathrm{，}-1\le x<0\\ \left|\frac{2}{5}-x\right|\mathrm{，}0\le x<1\end{array}\right.$其中 $a\in \mathbf{R}$， 若 $f\left(-\frac{5}{2}\right)=f\left(\frac{9}{2}\right)$， 则 $f\left(5a\right)$ 的值是 .

如图,在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中, $F$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点，直线 $y=\frac{b}{2}$与椭圆交于 $B,C$ 两点，且 $\angle \mathit{BFC}={90}^{\circ }$， 则该椭圆的离心率是 ________.

定义在区间 $[0,3\pi ]$ 上的函数 $y=\sin 2x$ 的图象与 $y=\cos x$ 的图象的交点个数是 .

已知 $\left\{a_n\right\}$是等差数列， $\left\{S_n\right\}$是其前 $n$项和.若 $a_1+a_2^2=-3，S_5=10$，则 $a_9$的值是 .

将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 .

如图是一个算法的流程图，则输出的 $a$的值是________.