高中数学

在一个特定时段内, 以点 E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北55海里处有一个 雷达观测站 A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B ,经过40分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 + θ (其中 sin θ = 26 26 , 0 < θ < 90 )且与点 A 相距 10 13 海里的位置C.

(Ⅰ)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);

(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

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来源:2008年全国统一高考理科数学试卷(湖南卷)
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 数列  a n  满足  a 1 = 1 , a 2 = 2 , a n + 2 = 1 + cos 2 2 a n + sin 2 2 , n = 1 , 2 , 3 , .

(Ⅰ)  求  a 3 , a 4 , 并求数列  a n  的通项公式; 

(II)  设  b n = a 2 n - 1 a 2 n , S n = b 1 + b 2 + + b n .  证明: 当  n 6  时  , S n - 2 < 1 n

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如图所示,四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, BCD = 60 , E CD 的中点, PA 底面 ABCD , PA = 2 .

(I) 证明: 平面 PBE 平面 PAB ;

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小.

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甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 1 2 , 且面试是否合格互不影响.

求: ( I ) 至少有 1 人面试合格的概率;

( II ) 签约人数 ξ 的分布列和数学期望.

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对有 n ( n 4 ) 个元素的总体 { 1 , 2 , , n } 进行抽样, 先将总体分成两个子总体 { 1 , 2 , , m } { m + 1 , m + 2 , , n } ( m 是给定的正整数, 且 2 m n - 2 ),再从每个子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本,用 P ij 表示元素 i j 同时出现在样本中的概率, 则 P 1 n =     ; 所有 P ij ( 1 i < j n ) 的和等于   .

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已知函数 f ( x ) = 3 - ax a - 1 ( a 1 ) .

(1) 若 a > 0 ,则 f ( x ) 的定义域是    ;

(2) 若 f ( x ) 在区间 ( 0 , 1 ] 上是减函数, 则实数 a 的取值范围是    .

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设函数 y = f ( x ) 存在反函数 y = f - 1 ( x ) ,且函数 y = x - f ( x ) 的图象过点 ( 1 , 2 ) .则函数 y = f - 1 ( x ) - x 的图象一定过点   .

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已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的右焦点为 F , 右准线为 l ,离心率 e = 5 5 .过顶点 A ( 0 , b ) AM l ,垂足为 M , 则直线 FM 的斜率等于   .

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lim x 1 x - 1 x 2 + 3 x - 4 =     .

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[ x ] 表示不超过 x 的最大整数(如 [ 2 ] = 2 , 5 4 = 1 ),对于给定的 n N * ,  定义  C n x = n ( n - 1 ) ( n - [ x ] + 1 ) x ( x - 1 ) ( x - [ x ] + 1 ) , x [ 1 , + ) ,则当  x 3 2 , 3  时,函数  C 8 x  的值域是 (   )

A.

16 3 , 28

B.

16 3 , 56

C.

4 , 28 3 [ 28 , 56 )

D.

4 , 16 3 28 3 , 28

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长方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的 8 个顶点在同一球面上, 且 AB = 2 , AD = 3 , A A 1 = 1 , 则顶点 A B 间的球面距离是(  )

A.

2 2 π

B.

2 π

C.

2 π 2

D.

2 π 4

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若双曲线 x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ( a > 0 , b > 0 ) 上横坐标为 3 a 2 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离, 则双曲线离心率的取值范围是(   )

A.

( 1 , 2 )

B.

( 2 , + )

C.

( 1 , 5 )

D.

( 5 , + )

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D E , F 分别是 ABC 的三边 BC , CA , AB 上的点, 且 D C = 2 B D , C E = 2 E A , A F = 2 F B , 则   A D + B E + C F B C (   )

A.

反向平行

B.

同向平行

C.

互相垂直

D.

既不平行也不垂直

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函数 f ( x ) = sin 2 x + 3 sin x cos x 在区间 π 4 , π 2 上的最大值是(   )

A.

1

B.

1 + 3 2

C.

3 2

D.

1 + 3

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设有直线 m n 和平面 α β .下列四个命题中, 正确的是( )

A.

m / / α , n / / α ,则 m / / n

B.

m α , n α , m / / β , n / / β ,则 α / / β

C.

α β , m α ,则 m β

D.

α β , m β , m α ,则 m / / α

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