高中数学试题

已知实数 $x,y$满足 $\left\{\begin{array}{c}x-y\ge 0\\ x+y-2\le 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$，则 $z=3x-4y$最小值为________．

在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 $\stackrel{⃑}{\text{AP}}$ = $\lambda$ $\stackrel{⃑}{\text{AB}}$ + $\stackrel{⃑}{\text{AD}}$ ，则 $\lambda$ + $\mu$ 的最大值为（ ）

A．

3

B．

2 $\sqrt{2}$

C．

$\sqrt{5}$

D．

2

已知函数 $f\left(x\right)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})$ 有唯一零点，则 $a=$ （ ）

A．

$-\frac{1}{2}$

B．

$\frac{1}{3}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

1

已知椭圆 C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 A ₁， A ₂，且以线段 A ₁ A ₂为直径的圆与直线 $\mathit{bx}-\mathit{ay}+2\mathit{ab}=0$ 相切，则 C的离心率为（ ）

A．	$\frac{\sqrt{6}}{3}$	B．	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C．	$\frac{\sqrt{2}}{3}$	D．	$\frac{1}{3}$

等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项为 $1$ ，公差不为 $0$ ．若 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $a_6$ 成等比数列，则 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $6$ 项的和为（ ）

A．

$-24$

B．

$-3$

C．

$3$

D．

$8$

已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）

A．	$\pi$	B．	$\frac{\text{3}\text{π}}{4}$
C．	$\frac{\pi }{2}$	D．	$\frac{\pi }{4}$

执行下面的程序框图，为使输出 S的值小于91，则输入的正整数 N的最小值为（ ）

A．

5

B．

4

C．

3

D．

2

设函数 $f\left(x\right)=\mathit{cos}(x+\frac{\pi }{3})$ ，则下列结论错误的是（ ）

A．	$f\left(x\right)$ 的一个周期为 $-2\pi$	B．	$y=f\left(x\right)$ 的图像关于直线 $x=\frac{8\pi }{3}$ 对称
C．	$f\left(x+\pi \right)$ 的一个零点为 $x=\frac{\pi }{6}$	D．	$f\left(x\right)$ 在 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 单调递减

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}b>0)$ 的一条渐近线方程为 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$ ，且与椭圆 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$ 有公共焦点.则 C的方程为（ ）

A．	$\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{10}=1$	B．	$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$
C．	$\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$	D．	$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

( $（x+y\left)\right(2x-y{)}^5$ 的展开式中 $x^3{y}^3$ 的系数为（ ）

A．

-80

B．

-40

C．

40

D．

80

某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ）

A．	月接待游客量逐月增加
B．	年接待游客量逐年增加
C．	各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．	各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

设复数 z满足 $\left(1+i\right)z=2i$ ，则 $\mid z\mid =$ （ ）

A．	$\frac{1}{2}$	B．	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C．	$\sqrt{2}$	D．	2

已知集合 $A=\left\{(x,y)\left|x^2+y^2=1\right.\right\}$ ， $B=\left\{(x,y)\left|y=x\right.\right\}$ ，则 $A\cap B$ 中元素的个数为（ ）

A．

3

B．

2

C．

1

D．

0

设 n为正整数，集合 A= $\left\{\alpha \right|\alpha =\left(t_1,t_2,\cdots ,t_n\right),t_k\in \left\{0,1\right\},k=1,2,\cdots ,n\}$ ．对于集合 A中的任意元素 $\alpha =\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 和 $\beta =\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$ ，记

M（ $\alpha ，\beta$ ）= $\frac{1}{2}\left[\left(x_1+y_1-\left|x_1-y_1\right|\right)+\left(x_2+y_2-\left|x_2-y_2\right|\right)+\cdots +\left(x_n+y_n-\left|x_n-y_n\right|\right)\right]$ ．

（Ⅰ）当 n=3时，若 $\alpha =\left(1,1,0\right)$ ， $\beta =\left(0,1,1\right)$ ，求 M（ $\alpha ,\alpha$ ）和 M（ $\alpha ,\beta$ ）的值；

（Ⅱ）当 n=4时，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意元素 $\alpha ,\beta$ ，当 $\alpha ,\beta$ 相同时， M（ $\alpha ，\beta$ ）是奇数；当 $\alpha ,\beta$ 不同时， M（ $\alpha ，\beta$ ）是偶数．求集合 B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的 n，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意两个不同的元素 $\alpha ,\beta$ ， M（ $\alpha ，\beta$ ）=0．写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由．

已知抛物线C： $y^2$=2px经过点 $P$（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点， $\stackrel{⃑}{\mathit{QM}}=\lambda \stackrel{⃑}{\mathit{QO}}$， $\stackrel{⃑}{\mathit{QN}}=\mu \stackrel{⃑}{\mathit{QO}}$，求证： $\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{\mu }$为定值．