高中数学试题

设函数 $f\left(x\right)$=[ $a{x}^2-\left(4a+1\right)x+4a+3$] $e^x$．

（1）若曲线在点（1， $f\left(1\right)$）处的切线与 $x$轴平行，求 $a$；

（2）若 $f\left(x\right)$在 $x=2$处取得极小值，求 $a$的取值范围．

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型	第一类	第二类	第三类	第四类	第五类	第六类
电影部数	140	50	300	200	800	510
好评率	0.4	0.2	0.15	0.25	0.2	0.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

假设所有电影是否获得好评相互独立．

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用" ${\xi }_k=1$ "表示第 k类电影得到人们喜欢，" ${\xi }_k=0$ "表示第 k类电影没有得到人们喜欢（ k=1，2，3，4，5，6）．写出方差 $D{\xi }_1$ ， $D{\xi }_2$ ， $D{\xi }_3$ ， $D{\xi }_4$ ， $D{\xi }_5$ ， $D{\xi }_6$ 的大小关系．

如图，在三棱柱 ABC− $A_1{B}_1{C}_1$ 中， $C{C}_1\perp$ 平面 ABC， D， E， F， G分别为 $A{A}_1$ ， AC， $A_1{C}_1$ ， 的中点， AB=BC= $\sqrt{5}$ ， AC= $A{A}_1$ =2．

（1）求证： AC⊥平面 BEF；

（2）求二面角 B−CD− C ₁的余弦值；

（3）证明：直线 FG与平面 BCD相交．

在△ABC中，a=7，b=8，cosB= - $\frac{1}{7}$ ．

(1)求∠A；

(2)求AC边上的高．

已知椭圆 $M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，双曲线 $N：\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．

能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是__________．

设函数 $f\left(x\right)=\mathit{cos}\left(\mathit{\omega x}-\frac{\pi }{6}\right)\hspace{0.33em}\left(\omega >0\right)$，若 $f\left(x\right)\le f\left(\frac{\pi }{4}\right)$对任意的实数 $x$都成立，则 $\omega$的最小值为__________．

在极坐标系中，直线 $\rho \mathit{cos}\theta +\rho \mathit{sin}\theta =a(a>0)$与圆 $\rho =2\mathit{cos}\theta$相切，则 $a=$__________．

设 $\left\{a_n\right\}$是等差数列，且 $a_1=3$， $a_2+a_5=36$，则 $\left\{a_n\right\}$的通项公式为__________．

设集合 $A=\left\{\right(x,y\left)\right|x-y\ge 1,\mathit{ax}+y>4,x-\mathit{ay}\le 2\},$ 则(　　)

A．	对任意实数a， $(2,1)\in A$
B．	对任意实数a，（2,1） $\notin A$
C．	当且仅当a<0时,（2,1） $\notin A$
D．	当且仅当 $a\le \frac{3}{2}$ 时,（2,1） $\notin A$

在平面直角坐标系中，记 $d$ 为点 $P\left(\mathit{cos}\theta ,\mathit{sin}\theta \right)$ 到直线 $x-\mathit{my}-2=0$ 的距离，当 $\theta$ 、 $m$ 变化时， $d$ 的最大值为(　　)

A．	$1$	B．	$2$
C．	$3$	D．	$4$

设向量 $\overrightarrow{a,}\vec{b}$ 均为单位向量，则" $|\vec{a}-3\vec{b}|=|3\vec{a}+\vec{b}|$ "是" $\vec{a}\perp \vec{b}$ "的(　　)

A．

充分不必要条件

B．

必要不充分条件

C．

充要条件

D．

既不充分又不必要条件

某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)

A．	1	B．	2
C．	3	D．	4

"十二平均律" 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为(　　)

A．		B．
C．		D．