设n为正整数，集合A{α|αt1,t2,⋯,tn,tk∈0,

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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设 n为正整数，集合 A= ${α | α = (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}), t_{k} \in \{0, 1\}, k = 1, 2, \dots, n}$ ．对于集合 A中的任意元素 $α = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 和 $β = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，记

M（ $α ， β$ ）= $\frac{1}{2} [(x_{1} + y_{1} - |x_{1} - y_{1}|) + (x_{2} + y_{2} - |x_{2} - y_{2}|) + \dots + (x_{n} + y_{n} - |x_{n} - y_{n}|)]$ ．

（Ⅰ）当 n=3时，若 $α = (1, 1, 0)$ ， $β = (0, 1, 1)$ ，求 M（ $α, α$ ）和 M（ $α, β$ ）的值；

（Ⅱ）当 n=4时，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意元素 $α, β$ ，当 $α, β$ 相同时， M（ $α ， β$ ）是奇数；当 $α, β$ 不同时， M（ $α ， β$ ）是偶数．求集合 B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的 n，设 B是 A的子集，且满足：对于 B中的任意两个不同的元素 $α, β$ ， M（ $α ， β$ ）=0．写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由．

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