高中数学试题

设有下面四个命题

$p_1$ ：若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z}\in R$ ，则 $z\in R$ ；

$p_2$ ：若复数 $z$ 满足 $z^2\in R$ ，则 $z\in R$ ；

$p_3$ ：若复数 $z_1,z_2$ 满足 $z_1{z}_2\in R$ ，则 $z_1=\overline{z_2}$ ；

$p_4$ ：若复数 $z\in R$ ，则 $\bar{z}\in R$ .

其中的真命题为( )

A． $p_1,p_3$ B． $p_1,p_4$ C． $p_2,p_3$ D． $p_2,p_4$

如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A．	$\frac{1}{4}$	B．	$\frac{\pi }{8}$
C．	$\frac{1}{2}$	D．	$\frac{\pi }{4}$

已知集合 $A=\left\{x\right|x<1\}$ ， $B=\left\{x\right|3^x<1$ }，则（ ）

A． $A\cap B=\left\{x\right|x<0\}$ B． $A\cup B=R$

C． $A\cup B=\left\{x\right|x>1\}$ D． $A\cap B=\varnothing$

[选修4-5：不等式选讲]

已知 $a>0,b>0,a^3+b^3=2$ ，证明：

（1） $(a+b)(a^3+b^3)\ge 4$ ；

（2） $a+b\le 2$ ．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho \mathit{cos}\theta =4$ ．

（1） M为曲线 $C_1$ 上的动点，点 P在线段 OM上，且满足 $\left|\mathit{OM}\right|\cdot \left|\mathit{OP}\right|=16$ ,求点 P的轨迹 $C_2$ 的直角坐标方程；

（2）设点 A的极坐标为 $(2,\frac{\pi }{3})$ ，点 B在曲线 $C_2$ 上，求 $\mathit{\Delta OAB}$ 面积的最大值．

已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^3-\mathit{ax}-x\mathit{ln}x,$ 且 $f\left(x\right)\ge 0$ .

（1）求 a；

（2）证明： $f\left(x\right)$ 存在唯一的极大值点 $x_0$ ，且 $e^{-2}<f\left(x_0\right)<2^{-3}$ .

设O为坐标原点，动点M在椭圆 $C：\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 $\overrightarrow{\mathit{NP}}=\sqrt{2}\overrightarrow{\mathit{NM}}$ .

(1) 求点 P的轨迹方程；

(2) 设点 Q在直线 $x=-3$ 上，且 $\overrightarrow{\mathit{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathit{PQ}}=1$ .证明：过点 P且垂直于 $\mathit{OQ}$ 的直线 l过 C的左焦点 F.

如图，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 中，侧面 $\mathit{PAD}$ 为等比三角形且垂直于底面 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=\frac{1}{2}\mathit{AD},\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{ABC}=90^o,$ $E$ 是 $\mathit{PD}$ 的中点.

（1）证明：直线 $\mathit{CE}//$ 平面 $\mathit{PAB}$ ;

（2）点 M在棱 PC上，且直线 BM与底面 ABCD所成锐角为 $45^o$ ，求二面角 $M-\mathit{AB}-D$ 的余弦值.

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（ ）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

$K^2=\frac{n(\mathit{ad}-\mathit{bc}{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$\mathit{\Delta ABC}$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ,已知 $\mathit{sin}(A+C)=8{\mathit{sin}}^2\frac{B}{2}$ ．

(1)求 $\mathit{cos}B$

(2)若 $a+c=6$ , $\mathit{\Delta ABC}$ 面积为2，求 $b.$

已知 $F$ 是抛物线 $C：y^2=8x$ 的焦点， ${\rm M}$ 是 $C$ 上一点， $\mathit{F{\rm M}}$ 的延长线交 $y$ 轴于点 ${\rm N}$ ．若 ${\rm M}$ 为 $\mathit{F{\rm N}}$ 中点，则 $\left|\mathit{F{\rm N}}\right|=$ ．

等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ， $a_3=3$ ， $S_4=10$ ，则 $\sum _{k=1}^n\frac{1}{S_k}=$ ．

函数 $f\left(x\right)={\mathit{sin}}^{2}x+\sqrt{3}\mathit{cos}x-\frac{3}{4}$ （ $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ ）的最大值是 ．

一批产品的二等品率为 $0.02$ ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 $100$ 次， ${\rm X}$ 表示抽到的二等品件数，则 $\mathit{D{\rm X}}=$ ．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 $\overrightarrow{\mathit{PA}}\cdot (\overrightarrow{\mathit{PB}}+\overrightarrow{\mathit{PC}})$ 的最小值是（ ）

A.. $-2$ . B. $-\frac{3}{2}$C. $-\frac{4}{3}$D. $-1$