高中数学试题

如图，在四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BAP}=\angle \mathit{CDP}=90^{\circ }$ .

（1）证明：平面 $\mathit{PAB}\perp$平面 $\mathit{PAD}$ ；

（2）若 $\mathit{PA}=\mathit{PD}=\mathit{AB}=\mathit{DC}$ ， $\angle \mathit{APD}=90^{\circ }$ ，求二面角 $A-\mathit{PB}-C$ 的余弦值.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $△\mathit{ABC}$ 的面积为 $\frac{a^2}{3\mathit{sin}A}$

（1）求 $\mathit{sinBsinC}$ ;

（2）若 $6\mathit{cosBcosC}=1$ ， $a=3$ ，求 $△\mathit{ABC}$ 的周长.

如图，圆形纸片的圆心为 $O$，半径为 $5cm$，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点， $△\mathit{DBC}$ ， $△\mathit{ECA}$ ， $△\mathit{FAB}$ 分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起 $△\mathit{DBC}$ ， $△\mathit{ECA}$ ， $△\mathit{FAB}$ ，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当 $△\mathit{ABC}$ 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： $cm{}^3$）的最大值为_________.

已知双曲线C： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0，b>0）$ 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若 $\angle \mathit{MAN}=60°$ ，则C的离心率为_________ .

设x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+2y\le 1\\ 2x+y\ge -1\\ x-y\le 0\end{array}\right.$ ，则 $z=3x-2y$ 的最小值为_________ .

已知向量a，b的夹角为60°， $\left|\mathit{a}\right|=2$ ， $\left|\mathit{b}\right|=1$ ，则 $|\mathit{a}+2\mathit{b}|=$_________ .

几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了"解数学题获取软件激活码"的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2 ⁰，接下来的两项是2 ⁰，2 ¹，再接下来的三项是2 ⁰，2 ¹，2 ²，依此类推.求满足如下条件的&最小整数 $N：N>100$ 且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）

A．440B．330C．220D．110

设 $\mathit{xyz}$ 为正数，且 $2^x=3^y=5^z$ ，则（ ）

A． $2x<3y<5z$ B． $5z<2x<3y$ C． $3y<5z<2x$ D． $3y<2x<5z$

已知F为抛物线 $C：y^2=4x$ 的焦点，过F作两条互相垂直的直线l ₁，l ₂，直线l ₁与C交于A、B两点，直线l ₂与C交于D、E两点，则 $\left|\mathit{AB}\right|+\left|\mathit{DE}\right|$ 的最小值为（ ）

A．16B．14C．12D．10

已知曲线 $C1：y=\mathit{cos\; x}$ ， $C2：y=\mathit{sin}(2x+\frac{2\pi }{3})$ ，则下面结论正确的是（ ）

A．把 C ₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到曲线 C ₂

B．把 C ₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，得到曲线 C ₂

C．把 C ₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到曲线 C ₂

D．把 C ₁上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，得到曲线 C ₂

右面程序框图是为了求出满足 $3^n-2^n>1000$ 的最小偶数 $n$，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入( )

A． $A>1000$ 和 $n=n+1$

B． $A>1000$ 和 $n=n+2$

C． $A\le 1000$ 和 $n=n+1$

D． $A\le 1000$ 和 $n=n+2$

某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）

A．

10

B．

12

C．

14

D．

16

$(1+\frac{1}{x^2})(1+x{)}^6$ 展开式中 $x^2$ 的系数为（ ）

A．15B．20C．30D．35

函数 $f\left(x\right)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 单调递减，且为奇函数．若 $f\left(1\right)=-1$ ，则满足 $-1\le f(x-2)\le 1$ 的 $x$ 的取值范围是（ ）

A． $[-2,2]$ B． $[-1,1]$ C． $[0,4]$ D． $[1,3]$

记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_4+a_5=24$ ， $S_6=48$ ，则 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为（ ）

A．1B．2C．4D．8