高中数学试题

如图，在四棱锥 $P﹣\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}\perp$ 平面 $\mathit{PDC}$ ， $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$ ， $\mathit{PD}\perp \mathit{PB}$ ， $\mathit{AD}=1$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CD}=4$ ， $\mathit{PD}=2$ ．

（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

（II）求证： $\mathit{PD}\perp \mathrm{平面}PBC$；

（II）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

	连续剧播放时长（分钟）	广告播放时长（分钟）	收视人次（万）
甲	70	5	60
乙	60	5	25

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

在 $△\mathit{ABC}$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $\mathit{asinA}=4\mathit{bsinB}$ ， $\mathit{ac}=\sqrt{5}$ $（a^2﹣b^2﹣c^2）$ ．

（Ⅰ）求 $\mathit{cosA}$ 的值；

（Ⅱ）求 $\mathit{sin}（2B﹣A）$ 的值．

在 $△\mathit{ABC}$ 中， $\angle A=60°$ ， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AC}=2$ ．若 $\overrightarrow{\mathit{BD}}=2\overrightarrow{\mathit{DC}}$ ， $\overrightarrow{\mathit{AE}}=\mathit{\lambda }\overrightarrow{\mathit{AC}}﹣\overrightarrow{\mathit{AB}}（\lambda \in R）$ ，且 $\overrightarrow{\mathit{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathit{AE}}=﹣4$ ，则 $\lambda$ 的值为________．

若a， $b\in R$ ， $\mathit{ab}＞0$ ，则 $\frac{a^4+4b^4+1}{\mathit{ab}}$ 的最小值为________．

设抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若 $\angle \mathit{FAC}=120°$ ，则圆的方程为________．

已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．

已知 $a\in R$ ，设函数 $f（x）=\mathit{ax}﹣\mathit{lnx}$ 的图象在点 $（1，f（1\mathit{））}$ 处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．

已知 $a\in R$ ， $i$ 为虚数单位，若 $\frac{a-i}{2+i}$ 为实数，则a的值为________．

已知函数 $f（x）=\left\{\begin{array}{c}\left|x\right|+2，x<1\\ x+\frac{2}{x}，x\ge 1\end{array}\right.$ ，设 $a\in R$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f（x）\ge |\frac{x}{2}+a|$ 在 $R$ 上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A. [﹣2，2] B. $[-2\sqrt{3}，2]$ C. $[-2，2\sqrt{3}]$ D. $[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$

设函数 $f（x）=2\mathit{sin}（\mathit{\omega x}+\phi ）$ ， $x\in R$ ，其中 $\omega ＞0$ ， $\left|\phi \right|＜\pi$ ．若 $f（\frac{5\pi }{8}）=2$ ， $f（\frac{11\pi }{8}）=0$ ，且 $f（x）$ 的最小正周期大于 $2\pi$ ，则（　　）

A. $\omega =\frac{2}{3}$ ， $\phi =\frac{\pi }{12}$ B. $\mathit{\omega }=\frac{2}{3}$ ， $\phi =﹣\frac{11\pi }{12}$ C. $\omega =\frac{1}{3}$ ， $\phi =﹣\frac{11\pi }{24}$ D. $\omega =\frac{1}{3}$ ， $\phi =\frac{7\pi }{24}$

已知奇函数 $f（x）$ 在R上是增函数．若 $a=﹣f（\mathit{lo}{g}_2\frac{1}{5}$ ）， $b=f（\mathit{log}24.1）$ ， $c=f（2^{0.8}）$ ，则a，b，c的大小关系为（　　）

A. $a＜b＜c$ B. $\mathit{b}＜a＜c$ C. $c＜b＜a$ D. $c＜a＜b$

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}﹣\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$ 的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上， $△\mathit{OAF}$ 是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（　　）

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ B. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$ C. $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ D. $x^2-\frac{y^2}{3}=1$

阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（　　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（　　）

A. $\frac{4}{5}$ B. $\frac{3}{5}$ C. $\frac{2}{5}$ D. $\frac{1}{5}$