高中数学试题

某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为实数，其前n项为S _n， 已知 $S_3=\frac{7}{4}$ ， $S_6=\frac{63}{4}$ ，则 $a_8=$ ________．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，双曲线 $\frac{x^2}{3}﹣y^2=1$ 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是 $F_1$ ， $F_2$ ， 则四边形 $F_{1}P{F}_{2}Q$ 的面积是________．

记函数 $f（x）=\sqrt{6+x-x^2}$ 定义域为D．在区间 $\left[﹣4，5\right]$ 上随机取一个数x，则 $x\in D$ 的概率是________．

如图，在圆柱 $O{}_1{O}_2$内有一个球 $O$，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 $O_1{O}_2$的体积为 $V{}_1$， 球 $O$的体积为 $V{}_2$， 则 $\frac{V_1}{V_2}$ 的值是________．

若 $\mathit{tan}（\alpha ﹣\frac{\pi }{4}）=\frac{1}{6}$ ．则 $\mathit{tan\alpha }=$ ________．

如图是一个算法流程图：若输入x的值为 $\frac{1}{16}$ ，则输出y的值是________．

某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．

已知复数 $z=（1+i\mathit{）（}1+2i）$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则z的模是________．

已知集合A={1，2}，B={a，a ²+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为________．

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数 $f（x）=–x^2+\mathit{ax}+4，g\left(x\right)=\mathit{│x}+1│+\mathit{│x–}1│$ .

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f（x）\ge g（x）$ 的解集；

（2）若不等式 $f（x）\ge g（x）$ 的解集包含 $\left[–1，1\right]$ ，求 a的取值范围.

[选修4―4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，曲线 C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=3\mathit{cos}\theta ,\\ y=\mathit{sin}\theta ,\end{array}\right.$ （ θ为参数），直线 l的参数方程为

$\left\{\begin{array}{c}x=a+4t,\\ y=1-t,\end{array}\right.（t\mathit{为参数）}$ .

（1）若 $a=-1$ ，求 C与 l的交点坐标；

（2）若 C上的点到 l的距离的最大值为 $\sqrt{17}$ ，求a.

已知函数 $f（x)=a{e}^{2x}+(a﹣2){\mathit{e}}^x﹣x$ .

（1）讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（2）若 $f\left(x\right)$ 有两个零点，求 a的取值范围.

已知椭圆C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）$ ，四点P ₁（1,1），P ₂（0,1），P ₃ $（–1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$ ，P ₄ $（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$ 中恰有三点在椭圆C上.

（1）求 C的方程；

（2）设直线 l不经过 P ₂点且与 C相交于 A， B两点.若直线 P ₂ A与直线 P ₂ B的斜率的和为-1，证明： l过定点.

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ．

（1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的零件数，求 $P(X\ge 1)$ 及 $X$ 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\bar{x}=\frac{1}{16}\sum _{i=1}^{16}{x}_i=9.97$ ， $s=\sqrt{\frac{1}{16}\sum _{i=1}^{16}(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{16}(\sum _{i=1}^{16}{x}_i^2-16{\bar{x}}^2{)}^2}\approx 0.212$ ，其中 $x_i$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸， $i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,16$ ．

用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的估计值 $\widehat{\mu }$ ，用样本标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值 $\widehat{\sigma }$ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 $(\widehat{\mu }-3\widehat{\sigma },\widehat{\mu }+3\widehat{\sigma })$ 之外的数据，用剩下的数据估计 $\mu$ 和 $\sigma$ （精确到0.01）．

附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则 $P(\mu -3\sigma <Z<\mu +3\sigma )=0.9974$ ，

$0.9974^{16}=0.9592$ ， $\sqrt{0.008}\approx 0.09$ ．