高中数学试题

设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上，则称函数在区间上为“凹函数”，已知
在上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（  ）

A．

B．

C．

D．

已知函数的图象在点处的切线的斜率为2.
（Ⅰ）求实数的值;
（Ⅱ）设,讨论的单调性;
（Ⅲ）已知且,证明:.

（本小题12分）已知分别为椭圆：（）的左、右焦点, 且离心率为，点椭圆上
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，使直线与的倾斜角互补，且直线是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.

（本小题满分12分）已知函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设
（1）求a、b的值；
（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围

如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球，这两个球相外切，且球与正方体共顶点A的三个面相切，球与正方体共顶点的三个面相切,则两球在正方体的面上的正投影是（     ）

（本小题满分14分）已知函数f（x）＝（1－x）e^x－1，其中e＝2.71828…为自然对数的底数.
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若0≤x＜1时，g（x）＝e^x＋λln（1－x）－1≤0，求λ的取值范围；
（3）证明：＜n＋ln2（n∈N^*）.

(本小题满分14分) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点，， ，在椭圆上，、是椭圆上位于直线两侧的动点．
①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；
②当、运动时，满足于，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．

（本小题满分14分）设函数，为曲线在点处的切线.
（Ⅰ）求L的方程；
（Ⅱ）当时，证明：除切点之外，曲线C在直线L的下方；
（Ⅲ）设，且满足，求的最大值．

（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）若,求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若，求函数在区间上的最大值；
（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最大值.

（本小题满分12分）已知向量，向量，函数.
（1）求的最小正周期；
（2）已知分别为内角的对边，为锐角，，且恰是在上的最大值，求和.

（本小题满分14分）已知圆：，直线.
（1）若直线l与圆交于不同的两点，当时，求的值；
（2）若，是直线l上的动点，过作圆的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点；
（3）若、为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值.

已知数列是等差数列，其前n项和为S_n，若，．
（1）求；
（2）若数列{M_n}满足条件： ，当时，－，其中数列单调递增，且，．
①试找出一组，，使得；
②证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.

（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；
（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；
（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若以函数的图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的最小值；
（3）是否存在实数m，使得函数的图象恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

如图，已知双曲线＝1（a>0，b>0），定点（c是双曲线的半焦距），双曲线虚轴的下端点为B．过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足 （O为原点），且三点共线．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a＝2，过点B的直线l交双曲线的左、右支于M、N两点，且△OMN的面积S_△OMN＝2，求l的方程．