高中数学试题

(本小题满分16分)
如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB上选一点D，将△ACD沿CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d. 实践证明，遮阳效果y与S、d的乘积Sd成正比，比例系数为k（k为常数，且k>0）.

（1）设∠ACD=，试将S表示为的函数；
（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）？

（本小题满分14分）已知数列（，）满足， 其中，．
（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；
（2）设集合．
①若，，求证：；
②是否存在实数，，使，，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由．

如图，在地正西方向的处和正东方向的处各一条正北方向的公路和现计划在和路边各修建一个物流中心和．为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和设

（1）为减少周边区域的影响，试确定的位置，使△与△的面积之和最小；
（2）为节省建设成本，试确定的位置，使的值最小．

如图，半径为2的扇形的圆心角为分别为半径的中点，为弧上任意一点，则的取值范围是   ．

已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，
且满足·="t" （t≠0且t≠－1）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当t＜0时，曲线C的两焦点为F₁，F₂，若曲线C上存在点Q使得∠F₁QF₂=120^O，
求t的取值范围．

等差数列{a_n}前n项和为S_n，公差d<0，若S₂₀>0,S₂₁<0,，当S_n取得最大值时，n的值为       ．

（本小题满分14分）已知函数，其中 ．
（1）求的单调区间；
（2）求证：＜ 

（本小题满分13分）设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA 的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．

（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求面积的最大值．

（本小题满分12分）已知数列的首项，前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设函数，是函数的导函数，令
，求数列的通项公式，并研究其单调性。

椭圆的两个焦点分别为，离心率。
（1）求椭圆方程；
（2）一条不与坐标轴平行的直线与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围。

已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和。
（1）求及；
（2）设数列的前项和为，求证：当都有成立。

一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（   ）

A．

B．

C．

D．

已知函数，在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若在区间内，恒有成立，求的取值范围．

（本小题满分分）如图所示，分别为椭圆的左、右两个焦点，A、B为两个顶点。已知椭圆C上的点到两点的距离之和为4。

（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求弦PQ的长。

已知等差数列中，，那么           ．