高中数学试题

（本小题满分12分） 若数列是等比数列，，公比，已知和的等差中项为，且．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．

（本小题满分14分）已知椭圆，其中为左、右焦点，O为坐标原点．直线l与椭圆交于两个不同点．当直线l过椭圆C右焦点F₂且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为．又椭圆上的点到焦点F₂的最近距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为时，求平行四边形OQNP的对角线之积的最大值；
（Ⅲ）若抛物线为焦点，在抛物线C₂上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C₂于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标．

在平面直角坐标系中，已知过点的椭圆：的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，点关于坐标原点的对称点为，直线，分别交椭圆的右准线于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点的坐标为，试求直线的方程；
（3）记，两点的纵坐标分别为，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

（本小题满分16分）已知数列（，）满足，其中，．
（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；
（2）设集合．
①若，，求证：；
②是否存在实数，，使，，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由．

（本小题满分15分）某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛附近．现派出四艘搜救船，为方便联络，船始终在以小岛为圆心，100海里为半径的圆上，船构成正方形编队展开搜索，小岛在正方形编队外（如图）．设小岛到的距离为，船到小岛的距离为．

（1）请分别求关于的函数关系式；并分别写出定义域；
（2）当两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即最大）．

【原创】（本小题满分14分）设是单位圆上三点，为锐角．
（1）若求
（2）若求三角形面积的最大值．

【原创】在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为左焦点为右焦点为.
（1）若椭圆上存在点，使得,求椭圆离心率的取值范围；
（2）若点满足，求证：以为圆心，以为半径的圆与椭圆右准线相切.

【原创】设数列满足：，
求证：当时，．

（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物 的准线方程为 过点M（0，-2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．

（1）求抛物线的方程;
（2）试问： 的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。

（本小题满分14分）已知函数，其中，．
（1）当，时，求函数的最小值；
（2）当，且为常数时，若函数对任意的，总有
成立，试用表示出的取值范围．

（本小题满分14分）已知椭圆（）的离心率为，右焦点到直线
的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点，斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，为椭圆的右顶点，
直线，分别交直线于点，，线段的中点为，记直线的斜率为，求证：
为定值．

（本小题满分14分）已知椭圆（）的右焦点，点
在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过点，且与椭圆交于，两点，过原点作直线的垂线，垂足为，如果的
面积为（为实数），求的值．

（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右
顶点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在与椭圆交于，两点的直线（），使得
成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

（本小题满分14分）已知椭圆过点，且长轴长等于4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是椭圆C的两个焦点，圆O是以为直径的圆，直线与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若，求的值．

（本小题满分14分）已知函数，．
（Ⅰ）时，证明：；
（Ⅱ），若，求a的取值范围．