高中数学试题

设是椭圆上的两点，已知向量，若且椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

已知数列的各项均为正数，观察程序框图，若，时，有 

（1）求数列的通项；
（2）令，求的值．

如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ）

A．4

B．

C．

D．

已知椭圆：的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设椭圆的上、下顶点分别为，，是椭圆上异于，的任意一点，直线，分别交轴于点，，若直线与过点，的圆相切，切点为，证明：线段的长为定值．

若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，有下列命题：
①在内单调递增；
②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；
③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；
④和之间存在唯一的“隔离直线”．
其中真命题的个数有（  ）

A．个

B．个

C．个

D．个

设，若，，．
（1）证明：且；
（2）试判断函数在内的零点个数，并说明理由．

设为实数，函数
（Ⅰ）当时，求在上的最大值；
（Ⅱ）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值。（为的导函数）

（本小题满分12分）如图，椭圆（）经过点，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为（与不重合），则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

（本小题满分12分）如图，轴，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作圆的切线交曲线于，两点，求面积的最大值和相应的点的坐标．

（本小题满分12分）已知椭圆，其中为左、右焦点，且离心率，直线与椭圆交于两不同点．当直线过椭圆右焦点且倾斜角为时，原点到直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，当面积为时，求的最大值．

（本小题12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．

（本小题满分12分）已知函数，．
（1）判断在区间上单调性；
（2）若，函数在区间上的最大值为，求的解析式，并判断是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：）．

（本小题满分12分）已知函数．
（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）已知函数，对于任意，总存在，使得成立，求正实数的取值范围．

已知椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率.过的直线交椭圆于、两点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.求证：以为直径的圆恒过一定点.并求出点的坐标.

（本小题满分13分）已知△的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于．
（1）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种曲线；
（2）当时，点为曲线 C上点, 且点为第一象限点,过点作两条直线与曲线C交于两点，直线斜率互为相反数，则直线EF斜率是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由．