高中数学解答题

（本小题满分13分）设数列的前项和为，对一切，点都在函数
的图象上
（1）求归纳数列的通项公式（不必证明）；
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），，， ；，，，；， ．．，
分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；
（3）设为数列的前项积，若不等式对一切 都成立，其中，求的取值范围

（本小题满分14分）设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．
（1）求常数的值；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：．

（本小题满分12分）已知数列的前项和为，首项，且对于任意都有．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，且数列的前项之和为，求证：

(本题满分12分)
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，若，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有两个不相等的实数根，求证：

（本小题满分12分）
一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取个作为样本,称出它们的重量（单位：克）,重量分组区间为,,,,由此得到样本的重量频率分布直方图（如下图）,

（1）求的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取个小球,其中重量在内的小球个数为,求的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).

（本小题满分16分）
对于函数，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数和在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数,.
（1）当,时,判断函数和是否相切？并说明理由；
（2）已知，，且函数和相切，求切点P的坐标；
（3）设，点P的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为呢？（结论不要求证明）

(本小题满分16分)
如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB上选一点D，将△ACD沿CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d. 实践证明，遮阳效果y与S、d的乘积Sd成正比，比例系数为k（k为常数，且k>0）.

（1）设∠ACD=，试将S表示为的函数；
（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）？

（本小题满分14分）已知数列（，）满足， 其中，．
（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；
（2）设集合．
①若，，求证：；
②是否存在实数，，使，，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由．

如图，在地正西方向的处和正东方向的处各一条正北方向的公路和现计划在和路边各修建一个物流中心和．为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路和设

（1）为减少周边区域的影响，试确定的位置，使△与△的面积之和最小；
（2）为节省建设成本，试确定的位置，使的值最小．

已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，
且满足·="t" （t≠0且t≠－1）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当t＜0时，曲线C的两焦点为F₁，F₂，若曲线C上存在点Q使得∠F₁QF₂=120^O，
求t的取值范围．

（本小题满分14分）已知函数，其中 ．
（1）求的单调区间；
（2）求证：＜ 

（本小题满分13分）设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA 的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．

（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求面积的最大值．

（本小题满分12分）已知数列的首项，前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设函数，是函数的导函数，令
，求数列的通项公式，并研究其单调性。

椭圆的两个焦点分别为，离心率。
（1）求椭圆方程；
（2）一条不与坐标轴平行的直线与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围。

已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和。
（1）求及；
（2）设数列的前项和为，求证：当都有成立。