高中数学解答题

（本小题满分14分）已知函数，为自然对数的底数．
（1）过点的切线斜率为，求实数的值；
（2）当时，求证：；
（3）在区间上恒成立，求实数的取值范围．

（本小题满分12分）如图所示，椭圆：，其中，焦距为，过点的直线与椭圆交于点、，点在之间，又点，的中点横坐标为，且．

（1）求椭圆的标准方程 ；
（2）求实数的值．

（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段，，，，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；
（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望．

（本小题满分13分）已知椭圆C：（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标．

（本小题满分14分）已知函数，， 其中，是自然对数的底数．函数，．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）将的全部零点按照从小到大的顺序排成数列，求证：
（1），其中；
（2）．

（本小题满分13分）已知椭圆C：（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标．

（本小题满分12分）已知是等差数列的前n项和，数列是等比数列，恰为的等比中项，圆，直线，对任意，直线都与圆C相切．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若时，的前n项和为，求证：对任意，都有

已知，直线l：y=－2，动点P到直线l的距离为d，且d=．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）直线m：y=与点P的轨迹交于M、N两点，当时，求直线m的倾斜角α的取值范围；
（Ⅲ）设直线h与点P的轨迹交于C、D两点，写出命题“如果直线h过点B，那么=－12”的逆命题，并判断该逆命题的真假，请说明理由．

设函数，数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记试比较与Q的大小关系，并说明理由．

（本小题满分14分）已知函数在点处的切线与直线垂直，在处的切线与直线平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围．

（本小题满分12分） 若数列是等比数列，，公比，已知和的等差中项为，且．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．

（本小题满分14分）已知椭圆，其中为左、右焦点，O为坐标原点．直线l与椭圆交于两个不同点．当直线l过椭圆C右焦点F₂且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为．又椭圆上的点到焦点F₂的最近距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为时，求平行四边形OQNP的对角线之积的最大值；
（Ⅲ）若抛物线为焦点，在抛物线C₂上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C₂于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标．

在平面直角坐标系中，已知过点的椭圆：的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，点关于坐标原点的对称点为，直线，分别交椭圆的右准线于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点的坐标为，试求直线的方程；
（3）记，两点的纵坐标分别为，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

（本小题满分16分）已知数列（，）满足，其中，．
（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；
（2）设集合．
①若，，求证：；
②是否存在实数，，使，，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由．

（本小题满分15分）某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛附近．现派出四艘搜救船，为方便联络，船始终在以小岛为圆心，100海里为半径的圆上，船构成正方形编队展开搜索，小岛在正方形编队外（如图）．设小岛到的距离为，船到小岛的距离为．

（1）请分别求关于的函数关系式；并分别写出定义域；
（2）当两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即最大）．