高中数学解答题

已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a＜0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．

已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，设，是函数图像上的任意两点（），记直线AB的斜率为，求证：.

已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；
（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．

（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD．
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值.

给定椭圆C： (a＞b＞0)，称圆C₁：x²＋y²＝a²＋b²为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)．
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C₁所截得的弦长为2，求实数m的值．

已知函数，其中是常数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在定义域内是单调递增函数，求的取值范围；
（Ⅲ）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围.

已知函数f(x)=ax²+1(a>0),g(x)=x³+bx。
（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求a,b的值；
（2）当a="3,b=" - 9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．

已知抛物线y² =" 2px" (p > 0)的交点为F，过引直线l交此抛物线于A，B两点.
（Ⅰ）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；
（Ⅱ）若p=2，点M在抛物线上，且，求t的取值范围.

已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为的直线经过点（0，1），与椭圆交于不同两点、．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当椭圆的右焦点在以为直径的圆内时，求的取值范围．

如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点.的最大值是，的最小值是，满足.
(1) 求该椭圆的离心率；
(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.

已知为曲线上的点,直线过点,且与曲线相切,直线交曲线于,交直线于点.

（1） 求直线的方程；
（2）设的面积为，求的值；
（3）设由曲线,直线,所围成的图形的面积为，求证的值为与无关的常数.

设函数、，且f（x）存在两个极值点、，其中.
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）求的最小值；
（Ⅲ）证明不等式：.

已知函数.
（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，＋∞）内为单调增函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）对于，求证：.

已知椭圆过点，其焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处
的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正
半轴交于两点，求面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为
．当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；
若不存在，请说明理由．

已知椭圆：（）的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）设（）为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点，连
结，过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点.试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.