高中数学一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式解答题

已知为锐角，且，函数，数列的首项，.
（1）求函数的表达式；（2）求数列的前项和．

对于项数为的有穷数列数集，记，即为、、、中的最大值，并称数列是的控制数列.如、、、、的控制数列是、、、、.
（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为、、、、，写出所有的；
（2）设是的控制数列，满足（为常数，、、、）.求证：.

已知数列满足
（1）若，数列单调递增，求实数的取值范围。
（2）若，试写出对任意成立的充要条件，并证明你的结论。

已知数列前项和为，向量与，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）求的前项和，不等式对任意的正整数恒成立，求的取值范围．

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁＝1，a_n＋1＝S_n(n＝1，2，3，…)，证明：
(1)数列是等比数列；
(2)S_n＋1＝4a_n.

设同时满足条件：①≤b_n＋1(n∈N^*)；②b_n≤M(n∈N^*，M是与n无关的常数)的无穷数列{b_n}叫“特界” 数列．
(1) 若数列{a_n}为等差数列，S_n是其前n项和，a₃＝4，S₃＝18，求S_n；
(2) 判断(1)中的数列{S_n}是否为“特界” 数列，并说明理由．

设不等式组所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点个数为a_n(n∈N^*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)记数列{a_n}的前n项和为S_n，且T_n＝.若对于一切的正整数n，总有T_n≤m，求实数m的取值范围．

正项数列{a_n}的前项和满足：－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0.
(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；
(2)令b_n＝，数列{b_n}的前n项和为T_n.证明：对于任意的n∈N^*，都有T_n<.

已知数列{a_n}中，a₁＝2，n∈N^*，a_n＞0，数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n＋1＝.
(1)求{S_n}的通项公式；
(2)设{b_k}是{S_n}中的按从小到大顺序组成的整数数列．
①求b₃；
②存在N(N∈N^*)，当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_k}有且只有20项，求N的范围．

设数列{a_n}的前n项和为S_n.已知a₁＝1，＝a_n＋1－n²－n－，n∈N^*.
(1)求a₂的值；
(2)求数列{a_n}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有.

已知数列a_n＝n－16，b_n＝(－1)ⁿ|n－15|，其中n∈N^*.
(1)求满足a_n＋1＝|b_n|的所有正整数n的集合；
(2)若n≠16，求数列的最大值和最小值；
(3)记数列{a_nb_n}的前n项和为S_n，求所有满足S_2m＝S_2n(m＜n)的有序整数对(m，n)．

已知a_n＝
(1)求数列{a_n}的前10项和S₁₀；
(2)求数列{a_n}的前2k项和S_2k.

已知数列的通项公式a_n＝ (n∈N^*)，求数列前30项中的最大项和最小项．

如下表定义函数f(x)：

x	1	2	3	4	5
f(x)	5	4	3	1	2

对于数列{a_n}，a₁＝4，a_n＝f(a_n－1)，n＝2，3，4，…，求a₂₀₀₈.

已知数列{a_n}的前n项和S_n=kcⁿ-k(其中c,k为常数),且a₂=4,a₆=8a₃.
(1)求a_n;
(2)求数列{na_n}的前n项和T_n.