高中数学一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式解答题

已知向量p＝(a_n,2ⁿ)，向量q＝(2^n＋1，－a_n＋1)，n∈N^*，向量p与q垂直，且a₁＝1.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若数列{b_n}满足b_n＝log₂a_n＋1，求数列{a_n·b_n}的前n项和S_n.

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n＝n²，数列{b_n}满足b_n＝，T_n为数列{b_n}的前n项和．
(1)求数列{a_n}的通项公式a_n和T_n；
(2)若对任意的n∈N^*，不等式λT_n<n＋(－1)ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围．

已知等差数列{a_n}满足：a₂＝5，a₄＋a₆＝22，数列{b_n}满足b₁＋2b₂＋…＋2^n－1b_n＝na_n，设数列{b_n}的前n项和为S_n.
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
(2)求满足13<S_n<14的n的集合．

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n＋a_n＝1.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)记b_n＝log₃，数列的前n项和为T_n，证明：T_n<.

已知数列的前n项和
（1）求数列的通项公式,并证明是等差数列；
（2）若，求数列的前项和

已知数列{a_n}满足：a₁＝，a_n＋1＝ (n∈N^*)．
(1)求a₂，a₃的值；
(2)证明：不等式0＜a_n＜a_n＋1对于任意n∈N^*都成立．

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃＝7，且a₁＋3,3a₂，a₃＋4构成等差数列．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)令b_n＝ln a_3n＋1，n＝1,2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n.

设{a_n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S_n，且a₅，a₃，a₄成等差数列．
(1)求数列{a_n}的公比；
(2)证明：对任意k∈N^*，S_k＋2，S_k，S_k＋1成等差数列．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n＝n²，数列{b_n}满足b_n＝，T_n为数列{b_n}的前n项和．
(1)求数列{a_n}的通项公式a_n和T_n；
(2)若对任意的n∈N^*，不等式λT_n<n＋(－1)ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围．

正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：－(n²＋n－1)S_n－(n²＋n)＝0.
(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；
(2)令b_n＝，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：对于任意的n∈N^*，都有T_n<.

（本小题12分）已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
（2）若，求；
（3）在（2）的条件下，若 ，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围．

已知函数f（x）=x²－ax+b（a，b∈R）的图像经过坐标原点，且，数列{}的前n项和=f（n）（n∈N^*）.
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}满足+ = ,求数列{}的前n项和.

设数列的前n项积为；数列的前n项和为．
（1）设．①证明数列成等差数列；②求证数列的通项公式；
（2）若恒成立，求实数k的取值范围．

本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列．
设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列．
（1）若，，成等比数列，求其公比．
（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．
（3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项．求证：当为大于1的正整数时，该数列为的无穷等比子数列．

（本题满分18分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）
设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列是否是“封闭数列”，为什么？
（3）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由.