高中数学空间向量的应用解答题

如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$-中， $\angle BAC={90}^{°}$， $AB=AC=2$， $A_{1}A=4$， $A_1$在底面 $ABC$的射影为 $BC$的中点， $D$为 $B_1{C}_1$的中点.

（1）证明： $A_{1}D\perp$平面 $A_{1}BC$；
（2）求二面角 $A_1-BD-B_1$的平面角的余弦值.

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且，E为PB的中点．

（1）求证：CE∥平面ADP；
（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；
（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，是中点，是中点．

（1）求证：面；
（2）若面面，求证：．

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直底面ABCD.

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

如图是一个斜三棱柱，已知、平面平面、、，又、分别是、的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求二面角的大小．

如图1，在直角梯形ABCD中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到三棱锥，如图2所示．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离．

（本小题共12分）已知E是矩形ABCD（如图1）边CD上的一点，现沿AE将△DAE折起至△D₁AE（如图2），并且平面D₁AE⊥平面ABCE，图3为四棱锥D₁—ABCE的主视图与左视图．


（1）求证：直线BE⊥平面D₁AE；
（2）求点A到平面D₁BC的距离．

如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，，

(1)证明：

(2)设直线与平面的距离为，求二面角的大小.

如图，在三棱锥中，和都是以为斜边的等腰直角三角形，若，是的中点

（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值．

（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，点在侧棱上，且

（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：

（1）底面；
（2）平面．

如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.
（1）证明平面；
（2）若二面角为，
①证明：平面平面.
②求直线与平面所成角的正弦值.

棱柱的所有棱长都为2，，平面⊥平面，．

（1）证明：；
（2）求锐二面角的平面角的余弦值；
（3）在直线上是否存在点，使得∥平面，若存在求出的位置．

如图,已知长方形中,, ,为的中点．将沿折起，使得平面平面．
(1)求证：； 
(2)若点是线段的中点，求二面角的余弦值．

如图，在三棱柱中，,,,在底面ABC的射影为BC的中点，D为的中点．

（1）证明：；
（2）求直线和平面所成的角的正弦值．