如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$-中， $\angle BAC={90}^{°}$， $AB=AC=2$， $A_{1}A=4$， $A_1$在底面 $ABC$的射影为 $BC$的中点， $D$为 $B_1{C}_1$的中点.

（1）证明： $A_{1}D\perp$平面 $A_{1}BC$；
（2）求二面角 $A_1-BD-B_1$的平面角的余弦值.