高中数学空间向量的应用解答题

如图，在三棱锥中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形， 若，D是PC的中点

（1）证明：；
（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．

如图，在三棱锥中，底面△是边长为的等边三角形，，分别为的中点，且，．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（本小题满分15分）已知四边形中,, 为中点，连接，将沿翻折到,使得二面角的平面角的大小为．

（Ⅰ）证明:；
（Ⅱ）已知二面角的平面角的余弦值为，求的大小及的长．

如图，正四棱锥中，，分别为的中点，设为线段上任意一点。

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当直线与平面所成的角取得最大值时，求二面角的平面角的余弦值.

（本小题满分15分）如图，已知平面，，，，
为等边三角形．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．

如图，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）已知点，为线段，上的点，使得，求当最短时，平面和平面所成二面角的正弦值．

已知四棱柱的底面为正方形，，、分别为棱、的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）已知，，取线段的中点，求二面角的余弦值．

如图，已知四棱锥S－A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，A⊥AD，且二面角S－CD－A的大小为120^o．

（Ⅰ）求证：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设侧棱SC和底面ABCD所成角为，求的正弦值．

如图，三棱锥P-ABC中，E,D分别是棱BC,AC的中点，PB="PC=AB=4,AC=8," BC=,PA=．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面PED；
（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若.
（1）求证：平面；
（2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（3）求二面角的余弦值.

如图，平面平面，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面．

（1）求证平面；
（2）设，是否存在，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

如图，三棱锥 $P-ABC$中，平面 $PAC\perp$平面 $ABC$， $\angle ABC=\frac{\pi }{2}$，点 $D,E$在线段 $AC$上，且 $AD=DE=EC=2,PD=PC=4$，点 $F$在线段 $AB$上，且 $EF\parallel BC$.

（Ⅰ）证明： $AB\perp$平面 $PFE$.
（Ⅱ）若四棱锥 $P-DFBC$的体积为7，求线段 $BC$的长.

如图，在三棱锥中，底面，，为的中点， 为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求与平面成角的正弦值；
（3）设点在线段上，且，平面，求实数的值.

如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥P﹣ABFED，且，PB=．

（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．

（Ⅰ）求证：平面CBE⊥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角C—BE—F的余弦值．