高中数学立体图形的结构特征解答题

过四面体的底面上任一点O分别作，分别是所作直线与侧面交点。
求证：为定值，并求出此定值。

如图，直三棱柱中，，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．

（1）若∥平面，求；
（2）平面将三棱柱分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．

如图，在四棱锥中，底面为矩形，.
（1）求证，并指出异面直线PA与CD所成角的大小；
（2）在棱上是否存在一点，使得？如果存在，求出此时三棱锥与四棱锥的体积比；如果不存在，请说明理由.

如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（1）求二面角B-AF-D的大小；
（2）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F^-ABCD公共部分的体积.

设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？

如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角，为底面圆周上一点.

（1）若的中点为，,
求证：平面；
（2）如果,,求此圆锥的全面积.

如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于,四边形ABCD是正方形.

（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积.

已知半径为的球内有一个内接正方体（即正方体的顶点都在球面上）.
（1）求此球的体积；
（2）求此球的内接正方体的体积；
（3）求此球的表面积与其内接正方体的全面积之比.

已知梯形中，，，、分别是、上的点，，．沿将梯形翻折，使平面⊥平面(如图)．是的中点．

（1）当时，求证：⊥；
（2）当变化时，求三棱锥体积的最大值．

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AA₁，∠CAB＝.

(1)证明：CB₁⊥BA₁；
(2)已知AB＝2，BC＝，求三棱锥C₁－ABA₁的体积．

如图，四边形为矩形，平面，为上的点，且平面.

(1)求三棱锥的体积；
(2)设在线段上，且满足，试在线段上确定一点，使得平面.

如图，△中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于点），将△绕直线旋转一周得到一个旋转体。

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．

已知顶点的坐标为，，.
（1）求点到直线的距离及的面积；
（2）求外接圆的方程.

（满分12分）
如图，在正方体中，E、F、G分别为、、的中点，O为与的交点，
（1）证明：面
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

如图5，四棱锥中，底面为矩形，底面，，分别为的中点

（1）求证：面；
（2）若，求与面所成角的余弦值