高中数学数列综合试题

已知数列{a_n}中，a₁=，a_n+1=（n∈N^*）．
（1）求证：数列{}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n+a_n=l（n∈N^*），S=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，试比较a_n与8S_n的大小．

（本小题满分12分）数列中，已知，时，．数列满足：．
（Ⅰ）证明：为等差数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由．

是否存在一个等比数列同时满足下列三个条件：
①且；
②；
③至少存在一个，使得依次构成等差数列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由.

设数列的前n项和为,已知,,数列是公差为d的等差数列,.
(1)求d的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)求证:.

已知数列的前项和，数列满足．
（1）求
（2）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（3）设，数列的前项和为，求满足的的最大值．

已知数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}满足b₁=1，b₃+b₇=18，且（n≥2）.（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；（2）若，求数列{c_n}的前n项和T_n.

设数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$.若对任意的正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $S_n=a_m$，则称 $\left\{a_n\right\}$是" $H$数列".
（1）若数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n=2^n(n\in N^{*})$，证明： $\left\{a_n\right\}$是" $H$数列".
（2）设 $\left\{a_n\right\}$是等差数列，其首项 $a_1=1$，公差 $d<0$，若 $\left\{a_n\right\}$是" $H$数列"，求 $d$的值；
（3）证明：对任意的等差数列 $\left\{a_n\right\}$，总存在两个" $H$数列" $\left\{b_n\right\}$和 $\left\{c_n\right\}$，使得 $a_n=b_n+c_n(n\in N^{*})$成立.

已知数列{a_n}的前n项和S_n＝－a_n－^n－1＋2(n∈N^*)，数列{b_n}满足b_n＝2ⁿa_n．
(1)求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式．
(2)设数列的前n项和为T_n，证明：n∈N^*且n≥3时，T_n＞．
(3)设数列{c_n}满足a_n(c_n－3ⁿ)＝(－1)^n－1λn(λ为非零常数，n∈N^*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N^*，都有c_n＋1＞c_n．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－2(n∈N^*)，数列{b_n}满足b₁＝1，且点P(b_n，b_n＋1)(n∈N^*)在直线y＝x＋2上．
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
(2)求数列{a_n·b_n}的前n项和D_n．
(3)设c_n＝a_n·sin²－b_n·cos²(n∈N^*)，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

已知首项为 $\frac{3}{2}$的等比数列 $\left\{a_n\right\}$不是递减数列，其前 $n$项和为 $S_n(n\in N^{+})$，且 $S_3+a_3,S_5+a_5,S_4+a_4$成等差数列．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）设 $T_n=S_n-\frac{1}{S_n}(n\in N^{+})$，求数列 $\left\{T_n\right\}$的最大项的值与最小项的值．

给定正整数，若项数为的数列满足：对任意的，均有（其中），则称数列为“Γ数列”．
（1）判断数列和是否是“Γ数列”，并说明理由；
（2）若为“Γ数列”，求证：对恒成立；
（3）设是公差为的无穷项等差数列，若对任意的正整数，
均构成“Γ数列”，求的公差．

已知函数， 数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，若对一切成立，求最小正整数m．

设数列的前项和为,
已知,,,是数列的前项和．
(1)求数列的通项公式;(2)求;
(3)求满足的最大正整数的值．

已知函数， 数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，若对一切成立，求最小正整数m．

已知数列，满足，，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由．