设数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n$.若对任意的正整数$n$，总存在正整数$m$，使得$S_n=a_m$，则称$\left\{a_n\right\}$是"$H$数列".
（1）若数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n=2^n(n\in N^{*})$，证明：$\left\{a_n\right\}$是"$H$数列".
（2）设$\left\{a_n\right\}$是等差数列，其首项$a_1=1$，公差$d<0$，若$\left\{a_n\right\}$是"$H$数列"，求$d$的值；
（3）证明：对任意的等差数列$\left\{a_n\right\}$，总存在两个"$H$数列" $\left\{b_n\right\}$和$\left\{c_n\right\}$，使得$a_n=b_n+c_n(n\in N^{*})$成立.