玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，求：（1）红或黑的概率；（2）红或黑或白的概率.

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海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里 $A$ 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 $y = \frac{12}{49} x^{2}$ ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 $t$ 小时后，失事船所在位置的横坐标为.

（1）当 $t = 0.5$ 时，写出失事船所在位置 $P$ 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = l g (x + 1)$ .
（1）若 $0 < f (1 - 2 x) - f (x) < 1$ ，求 $x$ 的取值范围；
（2）若 $g (x)$ 是以2为周期的偶函数，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时，有 $g (x) = f (x)$ ，求函数 $y = g (x)$ $(x \in [1, 2])$ 的反函数.

题型：未知
难度：未知

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥ 底面 A B C D$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点.已知 $A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ .求：

（1）三角形 $P C D$ 的面积；
（2）异面直线 $B C$ 与 $A E$ 所成的角的大小.

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ，其中 $a > 0$ .
（1）若对一切 $x \in R, f (x) \geq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合；
（2)在函数 $f (x)$ 的图像上去定点 $A (x_{1}, f (x_{1})), B (x_{2}, f (x_{2})) (x_{1} < x_{2})$ ，记直线 $A B$ 的斜率为 $k$ ，证明：存在 $x_{0} \in (x_{1}, x_{2})$ ,使 $f ` (x_{0}) = k$ 恒成立.

题型：未知
难度：未知

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在直角坐标系 $x O y$ 中，已知中心在原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E$ 的一个焦点为圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 = 0$ 的圆心.
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）设 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点，过 $P$ 作两条斜率之积为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1} : l_{2}$ .当直线 $l_{1} : l_{2}$ 都与圆 $C$ 相切时，求 $P$ 的坐标.

题型：未知
难度：未知

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