高中数学试题

在直角坐标平面上给定一曲线y²=2x,
(1)设点A的坐标为,求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
(2)设点A的坐标为(a,0),a∈R,求曲线上的点到点A距离的最小值d_min,并写出d_min=f(a)的函数表达式.

一个几何体是由圆柱ADD₁A₁和三棱锥E-ABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC.AE=2.

(1)求证：AC⊥BD.
(2)求三棱锥E-BCD的体积.

已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，求证：点到直线 的距离为定值，并求出这个定值．

已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与曲线交于两个不同点，若直线不过点，设直线的斜率分别为，求的数值；
(3)试问：是否存在一个定圆，与以动点为圆心，以为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．

过抛物线的顶点作射线与抛物线交于，若，求证：直线过定点．

已知数列的前三项分别为，，，（其中为正常数）。设。
（1）归纳出数列的通项公式，并证明数列不可能为等比数列；
（2）若=1，求的值；
（3）若=4，试证明：当时，．

已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量满足：记y＝f(x)．
（1）求函数y＝f(x)的解析式：
（2）若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围：
（3）若关于x的方程f(x)＝2x＋b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点.
（ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小;
（ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

已知数列{a_n}的前n项和S_n＝－a_n－^n－1＋2(n∈N^*)，数列{b_n}满足b_n＝2ⁿa_n．
(1)求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式．
(2)设数列的前n项和为T_n，证明：n∈N^*且n≥3时，T_n＞．
(3)设数列{c_n}满足a_n(c_n－3ⁿ)＝(－1)^n－1λn(λ为非零常数，n∈N^*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N^*，都有c_n＋1＞c_n．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－2(n∈N^*)，数列{b_n}满足b₁＝1，且点P(b_n，b_n＋1)(n∈N^*)在直线y＝x＋2上．
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
(2)求数列{a_n·b_n}的前n项和D_n．
(3)设c_n＝a_n·sin²－b_n·cos²(n∈N^*)，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行．
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,其中为的导函数．证明:对任意．

已知等差数列的公差大于零,且是方程的两个根；各项均为正数的等比数列的前项和为,且满足，
（1）求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和.

已知椭圆过点，且离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点的直线与该椭圆相交于A、B两点，试问：在直线上是否存在点P，使得是正三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

已知函数.
（1）当时，设.讨论函数的单调性；
（2）证明当.

已知，其中e为自然对数的底数.
（1）若是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数上的最小值；
（3）求证：.