高中数学试题

如图，分别过椭圆：左右焦点、的动直线相交于点，与椭圆分别交于不同四点，直线的斜率、、、满足．已知当轴重合时，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．

已知函数，.
（1）当时，证明：；
（2）若，求k的取值范围.

已知函数，.
（1）求函数的最小值；
（2）若，证明：当时，.

过抛物线C：上的点M分别向C的准线和x轴作垂线，两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形，点M在第一象限.
（1）求抛物线C的方程及点M的坐标；
（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交于A，B两点，如果点M在直线AB的上方，求面积的最大值.

已知函数.
（1）若当时，函数的最大值为，求的值；
（2）设（为函数的导函数），若函数在上是单调函数，求的取值范围.

已知抛物线的方程为，直线的方程为，点关于直线的对称点在抛物线上．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知，求过点及抛物线与轴两个交点的圆的方程；
（3）已知，点是抛物线的焦点，是抛物线上的动点，求的最小值及此时点的坐标；

已知函数(其中)，为f(x)的导函数.
（1）求证：曲线y=在点(1，)处的切线不过点(2，0)；
（2）若在区间中存在，使得，求的取值范围；
（3）若，试证明：对任意，恒成立.

已知椭圆C：( )的离心率为，点(1，)在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的两条切线交于点M(4，)，其中，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆上的点()处的椭圆切线方程是，证明直线AB恒过椭圆的右焦点；
（3）试探究的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由.

在平面直角坐标系中，原点为,抛物线的方程为,线段是抛物线的一条动弦．
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标;
(2)若,求证：直线恒过定点；
(3)当时，设圆,若存在且仅存在两条动弦,满足直线与圆相切，求半径的取值范围？

数列的首项,
求数列的通项公式；
设的前项和为,若的最小值为，求的取值范围？

本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分8分．
如果数列同时满足：（1）各项均为正数，（2）存在常数k, 对任意都成立，那么，这样的数列我们称之为“类等比数列” .由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列” .问：
（1）若数列为“类等比数列”，且k＝(a₂－a₁)²，求证：a₁、a₂、a₃成等差数列；
（2）若数列为“类等比数列”，且k＝， a₂、a₄、a₅成等差数列，求的值；
（3）若数列为“类等比数列”，且a₁＝a，a₂＝b(a、b为常数)，是否存在常数λ，使得对任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．

本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分6分．
已知椭圆过点，两焦点为、，是坐标原点，不经过原点的直线与椭圆交于两不同点、.
(1)求椭圆C的方程；       
(2) 当时，求面积的最大值；
(3) 若直线、、的斜率依次成等比数列，求直线的斜率.

本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2个小题满分8分。
已知.
(1)当,时,若不等式恒成立,求的范围；
(2)试证函数在内存在零点.

已知数列和满足：，其中为实数，为正整数.
（1）对任意实数，求证：不成等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.
（3）设为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

阅读：
已知、，，求的最小值.
解法如下：，
当且仅当，即时取到等号，
则的最小值为.
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，求函数的最小值；
（3）已知正数、、，，
求证：.