初中数学平行四边形的判定与性质试题

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $E$， $F$是对角线 $\mathit{BD}$上的两点，且 $\mathit{BF}=\mathit{ED}$，求证： $\mathit{AE}//\mathit{CF}$．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形， $G$是对角线 $\mathit{BD}$的中点．连接 $\mathit{GC}$并延长至 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{GC}$，以 $\mathit{DC}$， $\mathit{CF}$为邻边作菱形 $\mathit{DCFE}$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）判断四边形 $\mathit{CEDG}$的形状，并证明你的结论．

（2）连接 $\mathit{DF}$，若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，求 $\mathit{DF}$的长．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，过点 $A$作边 $\mathit{BC}$的垂线 $\mathit{AF}$交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $E$，点 $F$是垂足，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{DF}$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $O$．则下列结论：①四边形 $\mathit{ABEC}$是正方形；② $\mathit{CO}:\mathit{BE}=1:3$；③ $\mathit{DE}=\sqrt{2}\mathit{BC}$；④ $S_{\mathit{四边形OCEF}}=S_{\mathit{\Delta AOD}}$，正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AB}:\mathit{BC}=2:1$，且 $\mathit{BE}//\mathit{AC}$， $\mathit{CE}//\mathit{DB}$，连接 $\mathit{DE}$，则 $\tan \angle \mathit{EDC}=($　　 $)$

A． $\frac{1}{4}$B． $\frac{1}{6}$C． $\frac{\sqrt{2}}{6}$D． $\frac{3}{10}$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$、 $E$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的中点，连接 $\mathit{CD}$，过 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{DC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于 $F$．

（1）证明：四边形 $\mathit{CDEF}$是平行四边形；

（2）若四边形 $\mathit{CDEF}$的周长是 $25\mathit{cm}$， $\mathit{AC}$的长为 $5\mathit{cm}$，求线段 $\mathit{AB}$的长度．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，延长 $\mathit{AD}$至点 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BCED}$是平行四边形；

（2）若 $\mathit{DA}=\mathit{DB}=2$， $\cos A=\frac{1}{4}$，求点 $B$到点 $E$的距离．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$在对角线 $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．求证：

（1） $\mathit{DE}=\mathit{BF}$；

（2）四边形 $\mathit{DEBF}$是平行四边形．

已知：如图，平行四边形 $\mathit{ABCD}$，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $E$，点 $G$为 $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CG}$， $\mathit{CG}$的延长线交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{FD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{AF}$；

（2）若 $\mathit{AG}=\mathit{AB}$， $\angle \mathit{BCD}=120°$，判断四边形 $\mathit{ACDF}$的形状，并证明你的结论．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{BC}$边的中点，连接 $\mathit{DE}$并延长，交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $F$， $\mathit{AB}=\mathit{BF}$．添加一个条件使四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{AD}=\mathit{BC}$B． $\mathit{CD}=\mathit{BF}$C． $\angle A=\angle C$D． $\angle F=\angle \mathit{CDF}$

如图，反比例函数 $y=\frac{3}{x}$与一次函数 $y=x-2$在第三象限交于点 $A$，点 $B$的坐标为 $(-3,0)$，点 $P$是 $y$轴左侧的一点，若以 $A$， $O$， $B$， $P$为顶点的四边形为平行四边形，则点 $P$的坐标为　　．

边长为6的等边 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$边上， $\mathit{DE}//\mathit{AB}$， $\mathit{EC}=2\sqrt{3}$．

（1）如图1，将 $\mathit{\Delta DEC}$沿射线 $\mathit{EC}$方向平移，得到△ $D\text{'}E\text{'}C\text{'}$，边 $D\text{'}E\text{'}$与 $\mathit{AC}$的交点为 $M$，边 $C\text{'}D\text{'}$与 $\angle \mathit{ACC}\text{'}$的角平分线交于点 $N$，当 $\mathit{CC}\text{'}$多大时，四边形 $\mathit{MCND}\text{'}$为菱形？并说明理由．

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta DEC}$绕点 $C$旋转 $\angle \alpha (0°<\alpha <360°)$，得到△ $D\text{'}E\text{'}C$，连接 $\mathit{AD}\text{'}$、 $\mathit{BE}\text{'}$．边 $D\text{'}E\text{'}$的中点为 $P$．

①在旋转过程中， $\mathit{AD}\text{'}$和 $\mathit{BE}\text{'}$有怎样的数量关系？并说明理由；

②连接 $\mathit{AP}$，当 $\mathit{AP}$最大时，求 $\mathit{AD}\text{'}$的值．（结果保留根号）

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $\mathit{AD}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{AC}$， $E$是 $\mathit{AB}$的中点， $F$是 $\mathit{AC}$延长线上一点．

（1）若 $\mathit{ED}\perp \mathit{EF}$，求证： $\mathit{ED}=\mathit{EF}$；

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{DC}$的延长线与 $\mathit{FB}$交于点 $P$，试判定四边形 $\mathit{ACPE}$是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；

（3）若 $\mathit{ED}=\mathit{EF}$， $\mathit{ED}$与 $\mathit{EF}$垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．

某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=90°$， $\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{EAD}=60°$，点 $E$， $A$， $C$在同一条直线上，连接 $\mathit{BD}$，点 $F$是 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{CF}$，试判断 $\mathit{\Delta CEF}$的形状并说明理由．

问题探究：

（1）小婷同学提出解题思路：先探究 $\mathit{\Delta CEF}$的两条边是否相等，如 $\mathit{EF}=\mathit{CF}$，以下是她的证明过程

证明：延长线段 $\mathit{EF}$交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $G$． $\because F$是 $\mathit{BD}$的中点， $\therefore \mathit{BF}=\mathit{DF}$． $\because \angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=90°$， $\therefore \mathit{ED}//\mathit{CG}$．

$\therefore \angle \mathit{BGF}=\angle \mathit{DEF}$． 又 $\because \angle \mathit{BFG}=\angle \mathit{DFE}$， $\therefore \mathit{\Delta BGF}\cong \mathit{\Delta DEF}($　 $\mathit{AAS}$　 $)$． $\therefore \mathit{EF}=\mathit{FG}$． $\therefore \mathit{CF}=\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{EG}$．

请根据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图1中作出证明中所描述的辅助线；

②在证明的括号中填写理由（请在 $\mathit{SAS}$， $\mathit{ASA}$， $\mathit{AAS}$， $\mathit{SSS}$中选择）．

（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出 $\angle \mathit{CEF}$的度数，并判断 $\mathit{\Delta CEF}$的形状．

问题拓展：

（3）如图2，当 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$逆时针旋转某个角度时，连接 $\mathit{CE}$，延长 $\mathit{DE}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $P$，其他条件不变，判断 $\mathit{\Delta CEF}$的形状并给出证明．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，延长 $\mathit{CB}$至点 $E$，使 $\mathit{BE}=\mathit{BC}$，连按 $\mathit{AE}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ADBE}$是平行四边形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{OB}=\frac{5}{2}$，求四边形 $\mathit{ADBE}$的周长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{BAD}$和 $\angle \mathit{DCB}$的平分线 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CF}$分别交 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$于点 $E$、 $F$，点 $M$、 $N$分别为 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CF}$的中点，连接 $\mathit{FM}$、 $\mathit{EN}$，试判断 $\mathit{FM}$和 $\mathit{EN}$的数量关系和位置关系，并加以证明．