初中数学平行四边形的判定与性质试题

如图，点 $E$是平行四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$上一点，且 $\mathit{AE}=\mathit{AD}$．

（1）作出 $\angle \mathit{BAD}$的平分线，交 $\mathit{CD}$于点 $F$（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接 $\mathit{EF}$，求证：四边形 $\mathit{ADFE}$是菱形．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S$．点 $P_1$， $P_2$， $P_3$， $\dots$， $P_{n-1}$是边 $\mathit{BC}$的 $n$等分点 $(n⩾3$，且 $n$为整数），点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上，且 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{AB}}=\frac{\mathit{AN}}{\mathit{AC}}=\frac{1}{n}$，连接 $M{P}_1$， $M{P}_2$， $M{P}_3$， $\dots$， $M{P}_{n-1}$，连接 $\mathit{NB}$， $N{P}_1$， $N{P}_2$， $\dots$， $N{P}_{n-1}$，线段 $M{P}_1$与 $\mathit{NB}$相交于点 $D_1$，线段 $M{P}_2$与 $N{P}_1$相交于点 $D_2$，线段 $M{P}_3$与 $N{P}_2$相交于点 $D_3$， $\dots$，线段 $M{P}_{n-1}$与 $N{P}_{n-2}$相交于点 $D_{n-1}$，则△ $N{D}_1{P}_1$，△ $N{D}_2{P}_2$，△ $N{D}_3{P}_3$， $\dots$，△ $N{D}_{n-1}{P}_{n-1}$的面积和是　　．（用含有 $S$与 $n$的式子表示）

如图1，在平面直角坐标系中， $O$是坐标原点，抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{12}{x}^2-\frac{\sqrt{3}}{3}x+8\sqrt{3}$与 $x$轴正半轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，连接 $\mathit{AB}$，点 $M$， $N$分别是 $\mathit{OA}$， $\mathit{AB}$的中点， $\text{Rt}\Delta \text{CDE}\cong \text{Rt}\Delta \text{ABO}$，且 $\mathit{\Delta CDE}$始终保持边 $\mathit{ED}$经过点 $M$，边 $\mathit{CD}$经过点 $N$，边 $\mathit{DE}$与 $y$轴交于点 $H$，边 $\mathit{CD}$与 $y$轴交于点 $G$．

（1）填空： $\mathit{OA}$的长是　， $\angle \mathit{ABO}$的度数是　　度；

（2）如图2，当 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，连接 $\mathit{HN}$．

①求证：四边形 $\mathit{AMHN}$是平行四边形；

②判断点 $D$是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；

（3）如图3，当边 $\mathit{CD}$经过点 $O$时，（此时点 $O$与点 $G$重合），过点 $D$作 $\mathit{DQ}//\mathit{OB}$，交 $\mathit{AB}$延长线上于点 $Q$，延长 $\mathit{ED}$到点 $K$，使 $\mathit{DK}=\mathit{DN}$，过点 $K$作 $\mathit{KI}//\mathit{OB}$，在 $\mathit{KI}$上取一点 $P$，使得 $\angle \mathit{PDK}=45°$（点 $P$， $Q$在直线 $\mathit{ED}$的同侧），连接 $\mathit{PQ}$，请直接写出 $\mathit{PQ}$的长．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $l:y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+4$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $M$， $N$，高为3的等边三角形 $\mathit{ABC}$，边 $\mathit{BC}$在 $x$轴上，将此三角形沿着 $x$轴的正方向平移，在平移过程中，得到△ $A_1{B}_1{C}_1$，当点 $B_1$与原点重合时，解答下列问题：

（1）求出点 $A_1$的坐标，并判断点 $A_1$是否在直线 $l$上；

（2）求出边 $A_1{C}_1$所在直线的解析式；

（3）在坐标平面内找一点 $P$，使得以 $P$、 $A_1$、 $C_1$、 $M$为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 $P$点坐标．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{BAD}=120°$，连接 $\mathit{BD}$，作 $\mathit{AE}//\mathit{BD}$交 $\mathit{CD}$延长线于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$，且 $\mathit{CF}=1$，则 $\mathit{AB}$的长是 $($　　 $)$

A．2B．1C． $\sqrt{3}$D． $\sqrt{2}$

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$上的点，且 $\mathit{CE}=\mathit{BF}$．连接 $\mathit{DE}$，过点 $E$作 $\mathit{EG}\perp \mathit{DE}$，使 $\mathit{EG}=\mathit{DE}$，连接 $\mathit{FG}$， $\mathit{FC}$．

（1）请判断： $\mathit{FG}$与 $\mathit{CE}$的数量关系是　         　，位置关系是　           　；

（2）如图2，若点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{CB}$， $\mathit{BA}$延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；

（3）如图3，若点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

如图，点 $O$是 $\mathit{\Delta ABC}$内一点，连接 $\mathit{OB}$、 $\mathit{OC}$，并将 $\mathit{AB}$、 $\mathit{OB}$、 $\mathit{OC}$、 $\mathit{AC}$的中点 $D$、 $E$、 $F$、 $G$依次连接，得到四边形 $\mathit{DEFG}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{DEFG}$是平行四边形；

（2）若 $M$为 $\mathit{EF}$的中点， $\mathit{OM}=3$， $\angle \mathit{OBC}$和 $\angle \mathit{OCB}$互余，求 $\mathit{DG}$的长度．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle B=90°$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}>\mathit{AB}$，点 $D$在 $\mathit{BC}$上，以 $\mathit{AC}$为对角线的平行四边形 $\mathit{ADCE}$中， $\mathit{DE}$的最小值是　       　．

我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点．求证：中点四边形 $\mathit{EFGH}$是平行四边形；

（2）如图2，点 $P$是四边形 $\mathit{ABCD}$内一点，且满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$， $\mathit{PC}=\mathit{PD}$， $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{CPD}$，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别为边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点，猜想中点四边形 $\mathit{EFGH}$的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使 $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{CPD}=90°$，其他条件不变，直接写出中点四边形 $\mathit{EFGH}$的形状．（不必证明）

如图，已知抛物线 $\mathit{y}\mathit{=}\mathit{-}\frac{\mathit{1}}{\mathit{4}}{\mathit{x}}^{\mathit{2}}\mathit{-}\frac{\mathit{1}}{\mathit{2}}\mathit{x}\mathit{+}\mathit{2}$与 $\mathit{x}$轴交于 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$两点，与 $\mathit{y}$轴交于点 $\mathit{C}$

（1）求点 $\mathit{A}$， $\mathit{B}$， $\mathit{C}$的坐标；

（2）点 $\mathit{E}$是此抛物线上的点，点 $\mathit{F}$是其对称轴上的点，求以 $\mathit{A}$， $\mathit{B}$， $\mathit{E}$， $\mathit{F}$为顶点的平行四边形的面积；

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点 $\mathit{M}$，使得 $\mathit{\Delta ACM}$是等腰三角形？若存在，请求出点 $\mathit{M}$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $\mathit{BD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线，它的垂直平分线分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{BC}$于点 $\mathit{E}$， $\mathit{F}$， $\mathit{G}$，连接 $\mathit{ED}$， $\mathit{DG}$．

（1）请判断四边形 $\mathit{EBGD}$的形状，并说明理由；

（2）若 $\mathit{\angle }\mathit{ABC}\mathit{=}\mathit{30}\mathit{°}$， $\mathit{\angle }\mathit{C}\mathit{=}\mathit{45}\mathit{°}$， $\mathit{ED}\mathit{=}\mathit{2}\sqrt{\mathit{10}}$，点 $\mathit{H}$是 $\mathit{BD}$上的一个动点，求 $\mathit{HG}\mathit{+}\mathit{HC}$的最小值．

如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形 $\mathit{ABCD}$，当线段 $\mathit{AD}=3$时，线段 $\mathit{BC}$的长为　　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为平行四边形， $\angle \mathit{BAD}$和 $\angle \mathit{BCD}$的平分线 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$分别交 $\mathit{DC}$， $\mathit{BA}$的延长线于点 $E$， $F$，交边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$于点 $H$， $G$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$是平行四边形．

（2）若 $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=8$，求 $\mathit{AF}+\mathit{AG}$的值．

如图， $D$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 外接圆上的动点，且 $B$ ， $D$ 位于 $\mathit{AC}$ 的两侧， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ， $\mathit{DE}$ 的延长线交此圆于点 $F$ ． $\mathit{BG}\perp \mathit{AD}$ ，垂足为 $G$ ， $\mathit{BG}$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $H$ ， $\mathit{DC}$ ， $\mathit{FB}$ 的延长线交于点 $P$ ，且 $\mathit{PC}=\mathit{PB}$ ．

（1）求证： $\mathit{BG}//\mathit{CD}$ ；

（2）设 $\mathit{\Delta ABC}$ 外接圆的圆心为 $O$ ，若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}\mathit{DH}$ ， $\angle \mathit{OHD}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDE}$ 的大小．

已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是 $\odot O$ 的内接四边形， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ．

（1）延长 $\mathit{DE}$ 交 $\odot O$ 于点 $F$ ，延长 $\mathit{DC}$ ， $\mathit{FB}$ 交于点 $P$ ，如图1．求证： $\mathit{PC}=\mathit{PB}$ ；

（2）过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{AD}$ ，垂足为 $G$ ， $\mathit{BG}$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $H$ ，且点 $O$ 和点 $A$ 都在 $\mathit{DE}$ 的左侧，如图2．若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$ ， $\mathit{DH}=1$ ， $\angle \mathit{OHD}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDE}$ 的大小．