全国重点高中提前招生真题过关（十八）

已知 $A\mathrm{，}B$两点的坐标分别为 $\mathrm{（}3\mathrm{，}-4\mathrm{），（}0\mathrm{，}-2\mathrm{）}$，线段 $\mathit{AB}$上有一动点 $M\mathrm{（}m\mathrm{，}n\mathrm{）}$，过点 $M$作 $x$轴的平行线交抛物线 $y=a\mathrm{（}x-1{\mathrm{）}}^2+2$于 $P\left(x_1\mathrm{，}{y}_1\right)\mathrm{，}Q\left(x_2\mathrm{，}{y}_2\right)$两点.若 $x_1<m⩽x_2$，则 $a$的取值范围为（ ）

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A\mathrm{，}B$在 $x$轴的正半轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}\mathrm{（}k>0\mathrm{，}x>0\mathrm{）}$的图象经过顶点 $D$，分别与对角线 $\mathit{AC}$，边 $\mathit{BC}$交于点 $E\mathrm{，}F$，连接 $\mathit{EF}\mathrm{，}\mathit{AF}$.若点 $E$为 $\mathit{AC}$的中点， $△\mathit{AEF}$的面积为 $1$，则 $k$的值为（ ）

如图，半径为 $5$的 $\odot A$中，弦 $\mathit{BC}\mathrm{，}\mathit{ED}$所对的圆心角分别是 $\angle \mathit{BAC}\mathrm{，}\angle \mathit{EAD}$.已知 $\mathit{DE}=8\mathrm{，}\angle \mathit{BAC}+\angle \mathit{EAD}={180}^{\circ }$，则弦 $\mathit{BC}$的弦心距等于（ ）

已知二次函数 $f\mathrm{（}x\mathrm{）}=\mathrm{（}x-a\mathrm{）（}x-b\mathrm{）}-2\mathrm{（}a<b\mathrm{）}$，并且 $\alpha \mathrm{，}\beta \mathrm{（}\alpha <\beta \mathrm{）}$是方程 $f\mathrm{（}x\mathrm{）}=0$的两根，则 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}\alpha \mathrm{，}\beta$的大小关系是（ ）

如图，从 $1\times 2$的矩形 $\mathit{ABCD}$的较短边 $\mathit{AD}$上找一点 $E$，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是 $\mathit{AE}\mathrm{，}\mathit{DE}$，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点 $E$应选在（ ）

设二次函数 $y=x^2+2\mathit{ax}+\frac{a^2}{2}$的图象的顶点为 $A$，与 $x$轴的交点为 $B\mathrm{，}C$.当 $△\mathit{ABC}$为等边三角形时，其边长为（ ）

已知 $△\mathit{ABC}$中，以边 $\mathit{BC}$为直径作半圆交边 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}$于 $D\mathrm{，}E$两点， $\mathit{DE}=\mathit{EC}=4\mathrm{，}\mathit{BC}-\mathit{CD}=\frac{16}{5}$，则 $\sqrt{\frac{\mathit{BD}-\mathit{AD}}{\mathit{BC}}}$为（ ）

已知在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}={90}^{\circ }\mathrm{，}M$是边 $\mathit{BC}$上的中点， $\mathit{BC}$延长线上的点 $N$满足 $\mathit{AM}\perp \mathit{AN}$. $△\mathit{ABC}$的内切圆与边 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{AC}$的切点分别为 $E\mathrm{，}F$，延长 $\mathit{EF}$分别与 $\mathit{AN}\mathrm{，}\mathit{BC}$的延长线交于点 $P\mathrm{，}Q$，则 $\frac{\mathit{PN}}{\mathit{QN}}$为（ ）

若实数 $a\mathrm{，}b$满足 $\frac{1}{2}a-\mathit{ab}+b^2+2=0$，则 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿.

如图， $\odot M$的半径为 $2$，圆心 $M$的坐标为 $\mathrm{（}3\mathrm{，}4\mathrm{）}$，点 $P$是 $\odot M$上的任意一点， $\mathit{PA}\perp \mathit{PB}$，且 $\mathit{PA}\mathrm{，}\mathit{PB}$与 $x$轴分别交于 $A\mathrm{，}B$两点，若点 $A$，点 $B$关于原点 $O$对称，则 $\mathit{AB}$的最小值为＿＿＿＿＿.

如图， $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}={60}^{\circ }\mathrm{，}\angle \mathit{ABC}={45}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AB}=2\sqrt{2}\mathrm{，}D$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点，以 $\mathit{AD}$为直径画 $\odot O$分别交 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{AC}$于点 $E\mathrm{，}F$，连接 $\mathit{EF}$，则线段 $\mathit{EF}$长度的最小值为＿＿＿＿＿.

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的两边 $\mathit{OC}\mathrm{，}\mathit{OA}$分别在坐标轴上，且 $\mathit{OA}=2\mathrm{，}\mathit{OC}=4$，连接 $\mathit{OB}$.反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}\mathrm{（}x>0\mathrm{）}$的图象经过线段 $\mathit{OB}$的中点 $D$，并与 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}$分别交于点 $E\mathrm{，}F$.一次函数 $y=k_{2}x+b$的图象经过 $E\mathrm{，}F$两点.若点 $P$是 $x$轴上一动点，当 $\mathit{PE}+\mathit{PF}$的值最小时，点 $P$的坐标为＿＿＿＿＿.

将两个相似比为 $1:\sqrt{2}$的等腰直角三角形如图①放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.绕点 $C$旋转小直角三角形，使它的斜边与 $\mathit{AB}$交于点 $E\mathrm{，}\mathit{CD}$的延长线与 $\mathit{AB}$交于点 $F$，如图②.若 $\mathit{AE}=\sqrt{2}\mathrm{，}\mathit{BF}=1$，则 $\mathit{EF}=$＿＿＿＿＿.

小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图①，在 $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }\mathrm{，}\angle B={30}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AC}=1$.第一步，在 $\mathit{AB}$边上找一点 $D$，将纸片沿 $\mathit{CD}$折叠，点 $A$落在 $A^{\text{'}}$处，如图②；第二步，将纸片沿 $C{A}^{\text{'}}$折叠，点 $D$落在 $D^{\text{'}}$处，如图③.当点 $D^{\text{'}}$恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段 $A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$的长为＿＿＿＿＿.

若方程 $x^2-2\mathit{ax}+4a-3=0$的两根均大于 $1$，则实数 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿.

设 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c$为实数，且 $a\ne 0$，拋物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A\mathrm{，}B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且抛物线的顶点在直线 $y=-1$上.若 $△\mathit{ABC}$是直角三角形，则 $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$面积的最大值是＿＿＿＿＿.

已知平面直角坐标系中，点 $P\left(x_0\mathrm{，}{y}_0\right)$和直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$（其中 $A\mathrm{，}B$不全为0 $\mathrm{）}$，则点 $P$到直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$的距离 $d$可用公式 $d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$来计算.

例如:求点 $P\mathrm{（}1\mathrm{，}2\mathrm{）}$到直线 $y=2x+1$的距离，因为直线 $y=2x+1$可化为 $2x-y+1=0$，其中 $A=2\mathrm{，}B=-1\mathrm{，}C=1$，所以点 $P\mathrm{（}1\mathrm{，}2\mathrm{）}$到直线 $y=2x+1$的距离为 $d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|2\times 1+\mathrm{（}-1\mathrm{）}\times 2+1|}{\sqrt{2^2+\mathrm{（}-1{\mathrm{）}}^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.根据以上材料，解答下列问题:

（1）求点 $M\mathrm{（}0\mathrm{，}3\mathrm{）}$到直线 $y=\sqrt{3}x+9$的距离；

（2）在（1）的条件下， $\odot M$的半径 $r=4$，判断 $\odot M$与直线 $y=\sqrt{3}x+9$的位置关系，若相交，设其弦长为 $n$，求 $n$的值；若不相交，说明理由.

在Rt $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AB}=5\mathrm{，}\mathit{BC}=3$，将 $\mathit{ABC}$绕点 $B$顺时针旋转得到 $△A^{\text{'}}B{C}^{\text{'}}$，其中点 $A\mathrm{，}C$的对应点分别为点 $A^{\text{'}}\mathrm{，}{C}^{\text{'}}$.

（1）如图①，当点 $A^{\text{'}}$落在 $\mathit{AC}$的延长线上时，求 $A{A}^{\text{'}}$的长；

（2）如图②，当点 $C^{\text{'}}$落在 $\mathit{AB}$的延长线上时，连接 $C{C}^{\text{'}}$交 $A^{\text{'}}B$于点 $M$，求 $\mathit{BM}$的长；

（3）如图③，连接 $A{A}^{\text{'}}\mathrm{，}C{C}^{\text{'}}$，直线 $C{C}^{\text{'}}$交 $A{A}^{\text{'}}$于点 $D$，点 $E$为 $\mathit{AC}$的中点，连接 $\mathit{DE}$.在旋转过程中， $\mathit{DE}$是否存在最小值?若存在，求出 $\mathit{DE}$的最小值；若不存在，请说明理由.

$A\mathrm{，}B$两个水管同时开始向一个空容器内注水.如图是 $A\mathrm{，}B$两个水管各自的注水量 $y\left({\mathrm{m}}^3\right)$与注水时间 $x\left(\mathrm{h}\right)$之间的函数图象，已知 $B$水管的注水速度是 $1{\mathrm{m}}^3/\mathrm{h}$， $1$小时后， $A$水管的注水量随时间的变化是一段抛物线，其顶点是 $\left(1\mathrm{，}2\right)$，且注水 $9$小时，容器刚好注满.请根据图象所提供的信息解答下列问题:

（1）直接写出 $A\mathrm{，}B$注水量 $y\left({\mathrm{m}}^3\right)$与注水时间 $x\left(\mathrm{h}\right)$之间的函数解解析式，并注明自变量的取值范围；

$y_B=$__________（ ）， $y_A\left\{\begin{array}{c}\\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\end{array}\right.$

（2）求容器的容量；

（3）根据图象，通过计算回答，当 $y_A>y_B$时，直接写出 $x$的取值范围.

已知 $x_1\mathrm{，}{x}_2$是关于 $x$的一元二次方程 $x^2+\mathrm{（}3a-1\mathrm{）}x+2a^2-1=0$的两个实数根，使得 $\left(3x_1-x_2\right)\left(x_1-3x_2\right)=-80$成立.求实数 $a$的所有可能值.

如图，点 $P$是等边三角形 $\mathit{ABC}$内一点，且 $\mathit{PA}=3\mathrm{，}\mathit{PB}=4\mathrm{，}\mathit{PC}=5$，若将 $△\mathit{APB}$绕着点 $B$逆时针旋转后得到 $△\mathit{CQB}$.

（1）求点 $P$与点 $Q$之间的距离；

（2）求 $\angle \mathit{APB}$的度数.

如图，直线 $y=-\frac{3}{4}x+3$与 $x$轴交于点 $C$，与 $y$轴交于点 $B$，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{3}{4}x+c$经过 $B\mathrm{，}C$两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点 $E$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一动点，当 $△\mathit{BEC}$面积最大时，请求出点 $E$的坐标和 $△\mathit{BEC}$面积的最大值?

如图，已知 $△\mathit{ABC}$中， $\angle A={60}^{\circ }\mathrm{，}\odot O$是 $△\mathit{ABC}$的外接圆， $\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的高， $H$是 $△\mathit{ABC}$的垂心，连接 $\mathit{OA}\mathrm{，}\mathit{OB}\mathrm{，}\mathit{OC}$，连接 $\mathit{OH}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\mathit{AC}$于点 $N$，求证:

（1） $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{OAC}$；

（2） $\mathit{AH}$等于 $△\mathit{ABC}$外接圆半径；

（3） $\mathit{MH}=\mathit{NO}$.