初中数学试题

如图，在边长为 $1$的菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{DAB}=60°$，连接对角线 $\mathit{AC}$，以 $\mathit{AC}$为边作第二个菱形 $\mathit{ACEF}$，使 $\angle \mathit{FAC}=60°$，连接 $\mathit{AE}$，再以 $\mathit{AE}$为边作第三个菱形 $\mathit{AEGH}$，使 $\angle \mathit{HAE}=60°$，…，按此规律所作的第 $n$个菱形的边长是＿＿＿＿＿．

一个六边形的 $6$个内角都是 $120°$，连续四边的长为 $1，3，4，2$，则该六边形的周长是＿＿＿＿＿．

将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$按如图所示的方式折叠，点 $A$，点 $C$恰好落在对角线 $\mathit{BD}$上，得到菱形 $\mathit{BEDF}$.若 $\mathit{BC}=6$，则 $\mathit{AB}$的长为＿＿＿＿＿．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=100°,M,N$分别 $\mathit{AB},\mathit{BC}$的中点， $\mathit{MP}\perp \mathit{CD}$于点 $P$， $\angle \mathit{NPC}$的度数为＿＿＿＿＿．

如图，已知 $▱\mathit{ABCD}$， $M,N$分别是边 $\mathit{BC},\mathit{DC}$的中点， $\mathit{AN}=1,\mathit{AM}=2$，且 $\angle \mathit{MAN}=60°$，则 $\mathit{AB}$的长是＿＿＿＿＿．

如图，将 $n$个边长都为 $1\text{cm}$的正方形按如图所示的方法摆放，点 $A_1,A_2$， $\cdots ,A_n$分别是正方形的中心，则 $n$个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ）

A．

$\mathrm{}\frac{1}{4}{\text{cm}}^2$

B．

$\mathrm{}\frac{n}{4}{\text{cm}}^2$

C．

$\mathrm{}\frac{n-1}{4}{\text{cm}}^2$

D．

$\mathrm{}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n{\text{cm}}^2$

用长为 $1,4,4,5$的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于（ ）

A．

$6\sqrt{3}$

B．

$10$

C．

$6\sqrt{3}$或 $10$

D．

不能确定

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $M,N$分别为 $\mathit{AD}，\mathit{AB}$上的中点，且 $\mathit{BM}=\mathit{ND}$，其交点为 $P$，设 $\angle \mathit{CPB}=\alpha ,\angle \mathit{CPD}=\beta$，则（ ）

A．

$\alpha =\beta$

B．

$\alpha >\beta$

C．

$\alpha <\beta$

D．

$a,\beta$的大小不能确定

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，已知 $\mathit{AB}=3,\mathit{DF}=1,\angle \mathit{DAB}=60°$， $\angle \mathit{EFG}=15°$， $\mathit{FG}\perp \mathit{BC}$，则 $\mathit{AE}=$（ ）

A．

$1+\sqrt{2}$

B．

$\mathrm{}\sqrt{6}$

C．

$2\sqrt{3}-1$

D．

$1+\sqrt{3}$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3,\mathit{AD}=4$，点 $P$在 $\mathit{AD}$上， $\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$于 $E$， $\mathit{PF}\perp \mathit{BD}$于 $F$，则 $\mathit{PE}+\mathit{PF}$等于（ ）

A．

$\mathrm{}\frac{7}{5}$

B．

$\mathrm{}\frac{12}{5}$

C．

$\mathrm{}\frac{13}{5}$

D．

$\mathrm{}\frac{14}{5}$

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}=2\mathit{AB},\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$于 $E,F$为 $\mathit{AD}$的中点，若 $\angle \mathit{AEF}={54}^{\circ }$，则 $\angle B=$（ ）

A．

$\mathrm{}{54}^{\circ }$

B．

$\mathrm{}{60}^{\circ }$

C．

$\mathrm{}{66}^{\circ }$

D．

$\mathrm{}{72}^{\circ }$

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为 $a$，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别在正方形的四条边上，已知 $\mathit{EF}//\mathit{GH}$， $EF=GH$.

（1）若 $\mathit{AE}=\mathit{AH}=\frac{1}{3}a$，求四边形 $\mathit{EFGH}$的周长和面积；

（2）求四边形 $\mathit{EFGH}$的周长的最小值.

已知正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{MAN}={45}^{\circ }\mathrm{，}\angle \mathit{MAN}$绕点 $A$顺时针旋转，它的两边分别交 $\mathit{CB}\mathrm{，}\mathit{DC}$（或它们的延长线）于点 $M\mathrm{，}N$.当 $\angle \mathit{MAN}$绕点 $A$旋转得到 $\mathit{BM}=\mathit{DN}$时（如图1），易证 $\mathit{BM}+\mathit{DN}=\mathit{MN}$.

（1）当 $\angle \mathit{MAN}$绕点 $A$旋转到 $\mathit{BM}\ne \mathit{DN}$时（如图2），线段 $\mathit{BM}\mathrm{，}\mathit{DN}$和 $\mathit{MN}$之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明；

（2）当 $\angle \mathit{MAN}$绕点 $A$旋转到如图3的位置时，线段 $\mathit{BM}\mathrm{，}\mathit{DN}$和 $\mathit{MN}$之间又有怎样的数量关系?写出你的猜想，并说明理由.

如图，将边长为 $12\mathrm{cm}$的正方形 $\mathit{ABCD}$折叠，使得 $A$点落在 $\mathit{CD}$上的 $E$点，然后压平得折痕 $\mathit{FG}$，若 $\mathit{FG}=13\mathrm{cm}$，求线段 $\mathit{CE}$之长.

以四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}\mathrm{，}\mathit{CD}\mathrm{，}\mathit{DA}$为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 $E\mathrm{，}F\mathrm{，}G\mathrm{，}H$，顺次连接这四个点，得四边形 $\mathit{EFGH}$.

（1）如图①，当四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形时，我们发现四边形 $\mathit{EFGH}$是正方形；

如图②，当四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形时，请判断：四边形 $\mathit{EFGH}$的形状（不要求证明）；

（2）如图③，当四边形 $\mathit{ABCD}$为一般平行四边形时，设 $\angle \mathit{ADC}=\alpha \left(0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }\right)$.

①试用含 $\alpha$的代数式表示 $\angle \mathit{HAE}$；

②求证： $\mathit{HE}=\mathit{HG}$；

③四边形 $\mathit{EFGH}$是什么四边形?并说明理由.