初中数学试题

已知函数 $y=\left\{\begin{array}{c}{x}^2+1\left(x⩽0\right)\\ -2x(x>0)\end{array}\right.$，若 $y=10$，则 $x=$＿＿＿＿＿．

函数 $y=\frac{1}{2x-1}+\frac{1}{\left|x\right|-1}$，自变量 $x$的取值范围是＿＿＿＿＿．

已知如图a，点 $G$是 $\mathit{BC}$中点，点 $H$在 $\mathit{AF}$上，动点 $P$以每秒 $2\text{cm}$的速度沿图a的边线运动，运动路径为 $G\to C\to D\to E\to F\to H$，相应的 $△\mathit{ABP}$的面积 $y\left({\text{cm}}^2\right)$关于运动的时间 $t\left(\text{s}\right)$图像如图b，若 $\mathit{AB}=6\text{cm}$，则下列四个结论中正确的个数有（ ）

①图 $\text{a}$中的 $\mathit{BC}$长是 $8\text{cm}$；②图b中的 $M$点表示第 $4\text{s}$时 $y$的值为 $24$；

③图a中的 $\mathit{CD}$长是 $4\text{cm}$；④图b中的 $N$点表示第 $12\text{s}$时， $y$的值为 $18$.

A．

$1$个

B．

$2$个

C．

$3$个

D．

$4$个

如图，某天，学校研究性学习小组的同学从 $8$时起骑自行车外出调查， $17$时回学校，小组离开学校的距离与时间的关系可用图中的曲线表示，根据这个曲线图，下列说法错误的是（ ）

A．	在离校最远的地方调查的时间是 $14\sim 15$时
B．	第一次调查 $9$时开始，历时 $2\text{h}$
C．	中午 $12\sim 13$时休息的地方离校 $15\text{km}$
D．	返校的速度最慢

“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：龟兔同时出发，沿直线向同一目标奔跑，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，眯了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晩，乌龟还是先到达了终点….用 $s_1,s_2$分别表示乌龟和兔子所行的路程， $t$为时间，则下列各图象与故事情节相吻合的是（ ）

A．		B．
C．		D．

如图，一个粒子在第一象限内及 $x,y$轴上运动，在第一分钟内它从原点运动到 $\left(1,0\right)$，而后它接着按图所示在 $x$轴， $y$轴平行的方向来回运动且每分钟移动 $1$个单位长度，那么在 $1000$分钟这一时刻，这个粒子所处的位置是（ ）

A．

$\mathrm{}\left(31,31\right)$

B．

$\mathrm{}\left(31,32\right)$

C．

$\mathrm{}\left(31,23\right)$

D．

$\mathrm{}\left(23,31\right)$

如图是某函数的图象，则下列结论中正确的是（ ）

A．	当 $y=1$时， $x$的取值是 $-\frac{3}{2},5$	B．	当 $y=-3$时， $x$的取值是 $0，2$
C．	当 $x=-\frac{3}{2}$时，函数值 $y$最大	D．	当 $x>-3$时， $y$随 $x$的增大而增大

如图所示的图象分别给出了 $x$与 $y$的对应关系，其中 $y$是 $x$的函数的是（ ）

A．		B．
C．		D．

如图，在梯形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC},E$是 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AD}=5,\mathit{BC}=12,\mathit{CD}=4\sqrt{2},\angle C=45°$，点 $P$是 $\mathit{BC}$边上一动点，设 $\mathit{PB}$的长为 $x$.

（1）当 $x$的值为＿＿＿＿＿时，以点 $P,A,D,E$为顶点的四边形为直角梯形?

（2）当 $x$的值为＿＿＿＿＿时，以点 $P,A,D,E$为顶点的四边形为平行四边形?

（3）点 $P$在 $\mathit{BC}$边上运动的过程中，以 $P,A,D,E$为顶点的四边形能否构成菱形?试说明理由.

有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案.（在图中给出的图形上分别作图示意）

如图所示，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4,\angle \mathit{BAD}=120°,△\mathit{AEF}$为正三角形，点 $E,F$分别在菱形的边 $\mathit{BC},\mathit{CD}$上滑动，且 $E,F$不与 $B,C,D$重合.

（1）证明不论 $E,F$在 $\mathit{BC},\mathit{CD}$上如何滑动，总有 $\mathit{BE}=\mathit{CF}$；

（2）当点 $E,F$在 $\mathit{BC},\mathit{CD}$上滑动时，分别探讨四边形 $\mathit{AECF}$和 $△\mathit{CEF}$的面积是否发生变化?如果不变化，求出这个定值；如果变化，求最大（或最小）值.

问题背景

在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB},\mathit{BC},\mathit{AC}$三边的长分别为 $\sqrt{5},\sqrt{10},\sqrt{13}$，求这个三角形的面积。小辉在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 $1$），再在网格中画出格点 $△\mathit{ABC}$（即 $△\mathit{ABC}$三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需要求出 $△\mathit{ABC}$的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将 $△\mathit{ABC}$的面积直接填写在横线上，＿＿＿＿＿.

思维拓展

（2）我们把上述求 $△\mathit{ABC}$面积的方法叫做构图法，若 $△\mathit{ABC}$三边的长分别为 $\sqrt{5}a,2\sqrt{2}a,\sqrt{17}a\mathrm{}\left(a>0\right)$，请利用②的正方形网格（每个小正方形的边长为 $a$）画出相应的 $△\mathit{ABC}$，并求出它的面积.

探索创新

（3）若 $△\mathit{ABC}$三边的长分别为 $\sqrt{m^2+16n^2},\sqrt{9m^2+4n^2},2\sqrt{m^2+n^2}(m>0,n>0$，且 $m\ne n)$，试运用构图法求出这个三角形的面积.

（1）证明： $\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}+\frac{a^2}{{(\mathit{ab}+1)}^2}}=\left|a+\frac{1}{b}-\frac{a}{\mathit{ab}+1}\right|$；

（2）利用（1）式计算： $\sqrt{1+{1990}^2+\frac{{1990}^2}{{1991}^2}}-\frac{1}{1991}$.

你可以依次剪 $6$张正方形纸片拼成如图所示的图形.如果你所拼得的图形中正方形①的面积为 $1$，且正方形⑥与正方形③的面积相等，那么正方形⑤的面积为＿＿＿＿＿．

已知 $y=f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{{(x+1)}^2}+\sqrt[3]{x^2+x}+\sqrt[3]{x^2}}$，则 $f\left(1\right)+f\left(2\right)+\cdots +f\left(511\right)=$＿＿＿＿＿．