初中数学解答题

如图， $D$是 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{BC}$边上一点，连接 $\mathit{AD}$，作 $\mathit{\Delta ABD}$的外接圆，将 $\mathit{\Delta ADC}$沿直线 $\mathit{AD}$折叠，点 $C$的对应点 $E$落在 $\odot O$上．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AB}$．

（2）若 $\angle \mathit{CAB}=90°$， $\cos \angle \mathit{ADB}=\frac{1}{3}$， $\mathit{BE}=2$，求 $\mathit{BC}$的长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$交 $x$轴正半轴于点 $A$，直线 $y=2x$经过抛物线的顶点 $M$．已知该抛物线的对称轴为直线 $x=2$，交 $x$轴于点 $B$．

（1）求 $a$， $b$的值．

（2） $P$是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 $\mathit{OP}$， $\mathit{BP}$．设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{\Delta OBP}$的面积为 $S$，记 $K=\frac{S}{m}$．求 $K$关于 $m$的函数表达式及 $K$的范围．

现有甲、乙、丙等多家食品公司在某市开设蛋糕店，该市蛋糕店数量的扇形统计图如图所示，其中统计图中没有标注相应公司数量的百分比．已知乙公司经营150家蛋糕店，请根据该统计图回答下列问题：

（1）求甲公司经营的蛋糕店数量和该市蛋糕店的总数．

（2）甲公司为了扩大市场占有率，决定在该市增设蛋糕店，在其余蛋糕店数量不变的情况下，若要使甲公司经营的蛋糕店数量达到全市的 $20\%$，求甲公司需要增设的蛋糕店数量．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{AD}//\mathit{EC}$， $\angle \mathit{AED}=\angle B$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AED}\cong \mathit{\Delta EBC}$．

（2）当 $\mathit{AB}=6$时，求 $\mathit{CD}$的长．

某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第 $t$个月该原料药的月销售量为 $P$（单位：吨）， $P$与 $t$之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数 $P=\frac{120}{t+4}(0<t⩽8)$的图象与线段 $\mathit{AB}$的组合；设第 $t$个月销售该原料药每吨的毛利润为 $Q$（单位：万元）， $Q$与 $t$之间满足如下关系： $Q=\left\{\begin{array}{c}2t+8,0<t⩽12\\ -t+44,12<t⩽24\end{array}\right.$

（1）当 $8<t⩽24$时，求 $P$关于 $t$的函数解析式；

（2）设第 $t$个月销售该原料药的月毛利润为 $w$（单位：万元）

①求 $w$关于 $t$的函数解析式；

②该药厂销售部门分析认为， $336⩽w⩽513$是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量 $P$的最小值和最大值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{CD}=\mathit{CE}$．

（1）如图1，求证： $\angle \mathit{CAE}=\angle \mathit{CBD}$；

（2）如图2， $F$是 $\mathit{BD}$的中点，求证： $\mathit{AE}\perp \mathit{CF}$；

（3）如图3， $F$， $G$分别是 $\mathit{BD}$， $\mathit{AE}$的中点，若 $\mathit{AC}=2\sqrt{2}$， $\mathit{CE}=1$，求 $\mathit{\Delta CGF}$的面积．

某市明年的初中毕业升学考试，拟将“引体向上”作为男生体育考试的一个必考项目，满分为10分．有关部门为提前了解明年参加初中毕业升学考试的男生的“引体向上”水平，在全市八年级男生中随机抽取了部分男生，对他们的“引体向上”水平进行测试，并将测试结果绘制成如下统计图表（部分信息未给出） $:$

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：

抽取的男生“引体向上”成绩统计表

成绩	人数
0分	32
1分	30
2分	24
3分	11
4分	15
5分及以上	$m$

（1）填空： $m=$　， $n=$　　．

（2）求扇形统计图中 $D$组的扇形圆心角的度数；

（3）目前该市八年级有男生3600名，请估计其中“引体向上”得零分的人数．

如图，函数 $y=x$的图象与函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象相交于点 $P(2,m)$．

（1）求 $m$， $k$的值；

（2）直线 $y=4$与函数 $y=x$的图象相交于点 $A$，与函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象相交于点 $B$，求线段 $\mathit{AB}$长．

图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图， $\mathit{AC}$是可以伸缩的起重臂，其转动点 $A$离地面 $\mathit{BD}$的高度 $\mathit{AH}$为 $3.4m$．当起重臂 $\mathit{AC}$长度为 $9m$，张角 $\angle \mathit{HAC}$为 $118°$时，求操作平台 $C$离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据： $\sin 28°\approx 0.47$， $\cos 28°\approx 0.88$， $\tan 28°\approx 0.53)$

小敏思考解决如下问题：

原题：如图1，点 $P$， $Q$分别在菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上， $\angle \mathit{PAQ}=\angle B$，求证： $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$．

（1）小敏进行探索，若将点 $P$， $Q$的位置特殊化；把 $\angle \mathit{PAQ}$绕点 $A$旋转得到 $\angle \mathit{EAF}$，使 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$，点 $E$， $F$分别在边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，如图2．此时她证明了 $\mathit{AE}=\mathit{AF}$，请你证明．

（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为 $E$， $F$．请你继续完成原题的证明．

（3）如果在原题中添加条件： $\mathit{AB}=4$， $\angle B=60°$，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．

数学课上，张老师举了下面的例题：

例1 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=110°$，求 $\angle B$的度数．（答案： $35°)$

例2 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=40°$，求 $\angle B$的度数，（答案： $40°$或 $70°$或 $100°)$

张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：

变式 等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle A=80°$，求 $\angle B$的度数．

（1）请你解答以上的变式题．

（2）解（1）后，小敏发现， $\angle A$的度数不同，得到 $\angle B$的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中，设 $\angle A=x°$，当 $\angle B$有三个不同的度数时，请你探索 $x$的取值范围．

如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 $\mathit{MN}$安装在窗框上，托悬臂 $\mathit{DE}$安装在窗扇上，交点 $A$处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点 $B$， $C$， $D$始终在一直线上，延长 $\mathit{DE}$交 $\mathit{MN}$于点 $F$．已知 $\mathit{AC}=\mathit{DE}=20\mathit{cm}$， $\mathit{AE}=\mathit{CD}=10\mathit{cm}$， $\mathit{BD}=40\mathit{cm}$．

（1）窗扇完全打开，张角 $\angle \mathit{CAB}=85°$，求此时窗扇与窗框的夹角 $\angle \mathit{DFB}$的度数；

（2）窗扇部分打开，张角 $\angle \mathit{CAB}=60°$，求此时点 $A$， $B$之间的距离（精确到 $0.1\mathit{cm})$．

（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\sqrt{6}\approx 2.449)$

学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图 $1)$，顺次输入点 $P_1$， $P_2$， $P_3$的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．

（1） $P_1(4,0)$， $P_2(0,0)$， $P_3(6,6)$；

（2） $P_1(0,0)$， $P_2(4,0)$， $P_3(6,6)$．

一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升 $/$千米，如图是油箱剩余油量 $y$（升 $)$关于加满油后已行驶的路程 $x$（千米）的函数图象．

（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；

（2）求 $y$关于 $x$的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．

为了解某地区机动车拥有量对道路通行的影响，学校九年级社会实践小组对2010年 $~2017$年机动车拥有量、车辆经过人民路路口和学校门口的堵车次数进行调查统计，并绘制成下列统计图：

根据统计图，回答下列问题：

（1）写出2016年机动车的拥有量，分别计算2010年 $~2017$年在人民路路口和学校门口堵车次数的平均数．

（2）根据统计数据，结合生活实际，对机动车拥有量与人民路路口和学校门口堵车次数，说说你的看法．