初中数学解答题

函数图象是研究函数的重要工具。探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程。请结合已有的学习经验，画出函数 $y=-\frac{8x}{x^2+4}$ 的图象，并探究其性质．

列表如下：

$x$	$\dots$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	4	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{8}{5}$	$\frac{24}{13}$	$a$	$\frac{8}{5}$	0	$b$	$-2$	$-\frac{24}{13}$	$-\frac{8}{5}$	$\dots$

（1）写出表中 $a$ 、 $b$ 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

（2）观察函数 $y=-\frac{8x}{x^2+4}$ 的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

①当 $-2⩽x⩽2$ 时，函数图象关于直线 $y=x$ 对称；

② $x=2$ 时，函数有最小值，最小值为 $-2$ ；

③ $-1<x<1$ 时，函数 $y$ 的值随 $x$ 的增大而减小．

其中正确的是 　　．（请写出所有正确命题的番号）

（3）结合图象，请写出不等式 $\frac{8x}{x^2+4}>x$ 的解集 　　．

为了弘扬爱国主义精神，某校组织了"共和国成就"知识竞赛，将成绩分为： $A$ （优秀）、 $B$ （良好）、 $C$ （合格）、 $D$ （不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．

（1）本次抽样调查的样本容量是 　　，请补全条形统计图；

（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；

（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩"优秀"的学生人数．

随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有 $A$， $B$两种型号的无人机都被用来运送快件， $A$型机比 $B$型机平均每小时多运送20件， $A$型机运送700件所用时间与 $B$型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？

在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部 $B$ 处测得办公楼底部 $D$ 处的俯角是 $53°$ ，从综合楼底部 $A$ 处测得办公楼顶部 $C$ 处的仰角恰好是 $30°$ ，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据 $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\tan 53°\approx 1.33$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{CD}$ 的中点．求证： $\mathit{DE}=\mathit{BF}$ ．

为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100户进行月用电量（单位： $\mathit{kW}\cdot h)$ 调查，按月用电量 $50~100$ ， $100~150$ ， $150~200$ ， $200~250$ ， $250~300$ ， $300~350$ 进行分组，绘制频数分布直方图如图．

（1）求频数分布直方图中 $x$ 的值；

（2）判断这100户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）；

（3）设各组居民用户月平均用电量如表：

组别	$50~100$	$100~150$	$150~200$	$200~250$	$250~300$	$300~350$
月平均用电量（单位：     $\mathit{kW}\cdot h)$	75	125	175	225	275	325

根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．

）已知正比例函数 $y=\mathit{kx}(k\ne 0)$ 与反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象都经过点 $A(m,2)$ ．

（1）求 $k$ ， $m$ 的值；

（2）在图中画出正比例函数 $y=\mathit{kx}$ 的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时 $x$ 的取值范围．

学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形 $\mathit{AEFD}$ 为矩形，点 $B$ 、 $C$ 分别在 $\mathit{EF}$ 、 $\mathit{DF}$ 上， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\angle \mathit{BAD}=53°$ ， $\mathit{AB}=10\mathit{cm}$ ， $\mathit{BC}=6\mathit{cm}$ ．求零件的截面面积．参考数据： $\sin 53°\approx 0.80$ ， $\cos 53°\approx 0.60$ ．

资阳市为实现 $5G$网络全覆盖， $2020-2025$年拟建设 $5G$基站七千个．如图，在坡度为 $i=1:2.4$的斜坡 $\mathit{CB}$上有一建成的基站塔 $\mathit{AB}$，小芮在坡脚 $C$测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，然后她沿坡面 $\mathit{CB}$行走13米到达 $D$处，在 $D$处测得塔顶 $A$的仰角为 $53°$．（点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$处的竖直高度；

（2）求基站塔 $\mathit{AB}$的高．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\tan E=\frac{3}{4}$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，已知直线 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$与双曲线 $y=\frac{6}{x}$相交于 $A(m,3)$、 $B(3,n)$两点．

（1）求直线 $\mathit{AB}$的解析式；

（2）连结 $\mathit{AO}$并延长交双曲线于点 $C$，连结 $\mathit{BC}$交 $x$轴于点 $D$，连结 $\mathit{AD}$，求 $\mathit{\Delta ABD}$的面积．

我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．

（1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的 $\frac{1}{2}$，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作．某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随机抽取了部分职工进行问卷调查，调查结果分为： $A$（实时关注）、 $B$（关注较多）、 $C$（关注较少）、 $D$（不关注）四类，现将调查结果绘制成如图所示的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求 $C$类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；

（2）若 $D$类职工中有3名女士和2名男士，现从中任意抽取2人进行随访，请用树状图或列表法求出恰好抽到一名女士和一名男士的概率．

先化简，再求值： $(\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}-\frac{1}{x-1})÷\frac{x^2}{x-1}$，其中 $x-3=0$．

如图，一次函数 $y=\mathit{ax}+b$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象交于点 $A$、 $B$，与 $x$轴交于点 $C(5,0)$，若 $\mathit{OC}=\mathit{AC}$，且 $S_{\mathit{\Delta OAC}}=10$．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）请直接写出不等式 $\mathit{ax}+b>\frac{k}{x}$的解集．