初中数学解直角三角形的应用-仰角俯角问题解答题

如图，为了测得一棵树的高度 $\mathit{AB}$，小明在 $D$处用高为 $1m$的测角仪 $\mathit{CD}$，测得树顶 $A$的仰角为 $45°$，再向树方向前进 $10m$，又测得树顶 $A$的仰角为 $60°$，求这棵树的高度 $\mathit{AB}$．

如图，在水平地面上有一幢房屋 $\mathit{BC}$与一棵树 $\mathit{DE}$，在地面观测点 $A$处测得屋顶 $C$与树梢 $D$的仰角分别是 $45°$与 $60°$， $\angle \mathit{CAD}=60°$，在屋顶 $C$处测得 $\angle \mathit{DCA}=90°$．若房屋的高 $\mathit{BC}=6$米，求树高 $\mathit{DE}$的长度．

如图， $\mathit{AB}$和 $\mathit{CD}$两幢楼地面距离 $\mathit{BC}$为 $30\sqrt{3}$米，楼 $\mathit{AB}$高30米，从楼 $\mathit{AB}$的顶部点 $A$测得楼 $\mathit{CD}$的顶部点 $D$的仰角为 $45°$．

（1）求 $\angle \mathit{CAD}$的大小；

（2）求楼 $\mathit{CD}$的高度（结果保留根号）．

在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点 $B$垂直起飞到达点 $A$处，测得1号楼顶部 $E$的俯角为 $67°$，测得2号楼顶部 $F$的俯角为 $40°$，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且 $\mathit{EC}$和 $\mathit{FD}$分别垂直地面于点 $C$和 $D$，点 $B$为 $\mathit{CD}$的中点，求2号楼的高度．（结果精确到 $0.1)$

（参考数据 $\sin 40°\approx 0.64$， $\cos 40°\approx 0.77$， $\tan 40°\approx 0.84$， $\sin 67°\approx 0.92$， $\cos 67°\approx 0.39$， $\tan 67°\approx 2.36)$

某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔 $\mathit{AB}$，如图所示．在山脚平地上的 $D$处测得塔底 $B$的仰角为 $30°$，向小山前进80米到达点 $E$处，测得塔顶 $A$的仰角为 $60°$，求小山 $\mathit{BC}$的高度．

热气球的探测器显示，从热气球 $A$处看大楼 $\mathit{BC}$顶部 $C$的仰角为 $30°$，看大楼底部 $B$的俯角为 $45°$，热气球与该楼的水平距离 $\mathit{AD}$为60米，求大楼 $\mathit{BC}$的高度．（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台 $A$处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项 $D$处测得塔 $A$处的仰角为 $45°$，塔底部 $B$处的俯角为 $22°$．已知建筑物的高 $\mathit{CD}$约为61米，请计算观景台的高 $\mathit{AB}$的值．

（结果精确到1米；参考数据： $\sin 22°\approx 0.37$， $\cos 22°\approx 0.93$， $\tan 22°\approx 0.40)$

如图，线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$分别表示甲、乙两建筑物的高， $\mathit{BA}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{CD}\perp \mathit{DA}$，垂足分别为 $A$、 $D$．从 $D$点测到 $B$点的仰角 $\alpha$为 $60°$，从 $C$点测得 $B$点的仰角 $\beta$为 $30°$，甲建筑物的高 $\mathit{AB}=30$米．

（1）求甲、乙两建筑物之间的距离 $\mathit{AD}$．

（2）求乙建筑物的高 $\mathit{CD}$．

如图，小明在 $A$处测得风筝 $(C$处）的仰角为 $30°$，同时在 $A$正对着风筝方向距 $A$处30米的 $B$处，小明测得风筝的仰角为 $60°$，求风筝此时的高度．（结果保留根号）

如图，两座建筑物 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$，其地面距离 $\mathit{CD}$为 $60m$，从 $\mathit{AD}$的顶点 $A$测得 $\mathit{BC}$顶部 $B$的仰角 $\alpha =30°$，测得其底部 $C$的俯角 $\beta =45°$，求建筑物 $\mathit{BC}$的高（结果保留根号）

某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚 $B$到山腰 $D$沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从 $D$到 $A$修建电动扶梯，经测量，山高 $\mathit{AC}=154$米，步行道 $\mathit{BD}=168$米， $\angle \mathit{DBC}=30°$，在 $D$处测得山顶 $A$的仰角为 $45°$．求电动扶梯 $\mathit{DA}$的长（结果保留根号）．

如图， $A$、 $B$两个小岛相距 $10\mathit{km}$，一架直升飞机由 $B$岛飞往 $A$岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的 $\mathit{hkm}$，当直升机飞到 $P$处时，由 $P$处测得 $B$岛和 $A$岛的俯角分别是 $45°$和 $60°$，已知 $A$、 $B$、 $P$和海平面上一点 $M$都在同一个平面上，且 $M$位于 $P$的正下方，求 $h$（结果取整数， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中 $\mathit{OP}$为下水管道口直径， $\mathit{OB}$为可绕转轴 $O$自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径 $\mathit{OB}=\mathit{OP}=100\mathit{cm}$， $\mathit{OA}$为检修时阀门开启的位置，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}$．

（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中 $\angle \mathit{POB}$的取值范围；

（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 $\mathit{OB}$位置时，在点 $A$处测得俯角 $\angle \mathit{CAB}=67.5°$，若此时点 $B$恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）

$(\sqrt{2}=1.41$， $\sin 67.5°=0.92$， $\cos 67.5°=0.38$， $\tan 67.5°=2.41$， $\sin 22.5°=0.38$， $\cos 22.5°=0.92$， $\tan 22.5°=0.41)$

随着我市农产品整体品牌形象“聊 $·$胜一筹 $!$”的推出，现代农业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1．线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$分别表示大棚的墙高和跨度， $\mathit{AC}$表示保温板的长．已知墙高 $\mathit{AB}$为2米，墙面与保温板所成的角 $\angle \mathit{BAC}=150°$，在点 $D$处测得 $A$点、 $C$点的仰角分别为 $9°$， $15.6°$，如图2．求保温板 $\mathit{AC}$的长是多少米？（精确到0.1米）

（参考数据： $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.86$， $\sin 9°\approx 0.16$， $\cos 9°\approx 0.99$， $\tan 9°\approx 0.16$， $\sin 15.6°\approx 0.27$， $\cos 15.6°\approx 0.96$， $\tan 15.6°\approx 0.28)$

在小水池旁有一盏路灯，已知支架 $\mathit{AB}$的长是 $0.8m$， $A$端到地面的距离 $\mathit{AC}$是 $4m$，支架 $\mathit{AB}$与灯柱 $\mathit{AC}$的夹角为 $65°$．小明在水池的外沿 $D$测得支架 $B$端的仰角是 $45°$，在水池的内沿 $E$测得支架 $A$端的仰角是 $50°$（点 $C$、 $E$、 $D$在同一直线上），求小水池的宽 $\mathit{DE}$．（结果精确到 $0.1m\left)\right(\sin 65°\approx 0.9$， $\cos 65°\approx 0.4$， $\tan 50°\approx 1.2)$