初中数学解直角三角形的应用-坡度坡角问题试题

为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形 $\mathit{ABCD}$．已知迎水坡面 $\mathit{AB}=12$米，背水坡面 $\mathit{CD}=12\sqrt{3}$米， $\angle B=60°$，加固后拦水坝的横断面为梯形 $\mathit{ABED}$， $\tan E=\frac{3}{13}\sqrt{3}$，则 $\mathit{CE}$的长为　 　米．

如图， 某数学活动小组为测量学校旗杆 $\mathit{AB}$的高度， 沿旗杆正前方 $2\sqrt{3}$米处的点 $C$出发， 沿斜面坡度 $i=1:\sqrt{3}$的斜坡 $\mathit{CD}$前进 4 米到达点 $D$，在点 $D$处安置测角仪， 测得旗杆顶部 $A$的仰角为 $37°$，量得仪器的高 $\mathit{DE}$为 1.5 米 ． 已知 $A$、 $B$、 $C$、 $D$、 $E$在同一平面内， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AB}//\mathit{DE}$． 求旗杆 $\mathit{AB}$的高度 ． （参 考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4}$． 计算结果保留根号）

某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 $\mathit{AC}$的坡度 $i$为 $1:2$，顶端 $C$离水平地面 $\mathit{AB}$的高度为 $10m$，从顶棚的 $D$处看 $E$处的仰角 $\alpha =18°30\text{'}$，竖直的立杆上 $C$、 $D$两点间的距离为 $4m$， $E$处到观众区底端 $A$处的水平距离 $\mathit{AF}$为 $3m$．求：

（1）观众区的水平宽度 $\mathit{AB}$；

（2）顶棚的 $E$处离地面的高度 $\mathit{EF}$． $(\sin 18°30\text{'}\approx 0.32$， $\tan l8°30\text{'}\approx 0.33$，结果精确到 $0.1m)$

如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AE}$、 $\mathit{DF}$为梯形的高，其中迎水坡 $\mathit{AB}$的坡角 $\alpha =45°$，坡长 $\mathit{AB}=6\sqrt{2}$米，背水坡 $\mathit{CD}$的坡度 $i=1:\sqrt{3}(i$为 $\mathit{DF}$与 $\mathit{FC}$的比值），则背水坡 $\mathit{CD}$的坡长为　　米．

如图，信号塔 $\mathit{PQ}$座落在坡度 $i=1:2$的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成 $60°$角时，测得信号塔 $\mathit{PQ}$落在斜坡上的影子 $\mathit{QN}$长为 $2\sqrt{5}$米，落在警示牌上的影子 $\mathit{MN}$长为3米，求信号塔 $\mathit{PQ}$的高．（结果不取近似值）

为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即 $\mathit{CD}=2$ 米），背水坡 $\mathit{DE}$ 的坡度 $i=1:1$ （即 $\mathit{DB}:\mathit{EB}=1:1)$ ，如图所示，已知 $\mathit{AE}=4$ 米， $\angle \mathit{EAC}=130°$ ，求水坝原来的高度 $\mathit{BC}$ ．

（参考数据： $\sin 50°\approx 0.77$ ， $\cos 50°\approx 0.64$ ， $\tan 50°\approx 1.2)$

如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长 $5m$的竹竿 $\mathit{AC}$斜靠在石坝旁，量出杆长 $1m$处的 $D$点离地面的高度 $\mathit{DE}=0.6m$，又量得杆底与坝脚的距离 $\mathit{AB}=3m$，则石坝的坡度为 $($　　 $)$

A． $\frac{3}{4}$B．3C． $\frac{3}{5}$D．4

某居民楼紧挨一座山坡 $\mathit{AB}$，经过地质人员勘测，当坡度不超过 $45°$时，可以确保山体不滑坡，如图所示，已知 $\mathit{AE}//\mathit{BD}$，斜坡 $\mathit{AB}$的坡角 $\angle \mathit{ABD}=60°$，为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造后，斜坡 $\mathit{BC}$与地面 $\mathit{BD}$成 $45°$角， $\mathit{AC}=20$米．求斜坡 $\mathit{BC}$的长是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，这是一座一侧有缓步台的过街天桥示意图．已知桥面 $\mathit{BC}$长为 $10m$，与水平面的垂直距离为 $6m$，桥面 $\mathit{DE}$长为 $6m$，与水平面的垂直距离为 $4m$．斜坡 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$与水平面的夹角分别为 $45°$， $27°$，斜坡 $\mathit{EF}$的坡度（即 $\mathit{EQ}:\mathit{FQ})$为 $2:3$．求天桥跨度 $\mathit{AF}$的长．

参考数据： $(\sin 27°\approx \frac{9}{20}$， $\cos 27°\approx \frac{9}{10}$， $\tan 27°\approx \frac{1}{2})$

某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面 $\mathit{BC}$的坡度为 $1:1$，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 $1:\sqrt{3}$．

（1）求新坡面的坡角 $a$；

（2）原天桥底部正前方8米处（ $\mathit{PB}$的长）的文化墙 $\mathit{PM}$是否需要拆除？请说明理由．

小明沿着坡度 $\mathit{i}$为 $\mathit{1}\mathit{:}\sqrt{\mathit{3}}$的直路向上走了 $\mathit{50}\mathit{m}$，则小明沿垂直方向升高了　   　 $\mathit{m}$．

如图，长 $4m$的楼梯 $\mathit{AB}$的倾斜角 $\angle \mathit{ABD}$为 $60°$，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角 $\angle \mathit{ACD}$为 $45°$，则调整后的楼梯 $\mathit{AC}$的长为 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{3}m$B． $2\sqrt{6}m$C． $(2\sqrt{3}-2)m$D． $(2\sqrt{6}-2)m$

如图， $\mathit{BC}$是路边坡角为 $30°$，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆 $\mathit{CD}$的顶端 $D$处有一探射灯，射出的边缘光线 $\mathit{DA}$和 $\mathit{DB}$与水平路面 $\mathit{AB}$所成的夹角 $\angle \mathit{DAN}$和 $\angle \mathit{DBN}$分别是 $37°$和 $60°$（图中的点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$、 $M$、 $N$均在同一平面内， $\mathit{CM}//\mathit{AN})$．

（1）求灯杆 $\mathit{CD}$的高度；

（2）求 $\mathit{AB}$的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\sqrt{3}=1.73$． $\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$

如图，小刚从山脚 $A$出发，沿坡角为 $\alpha$的山坡向上走了300米到达 $B$点，则小刚上升了 $($　　 $)$

A． $300\sin \alpha$米B． $300\cos \alpha$米C． $300\tan \alpha$米D． $\frac{300}{\tan \alpha }$米

某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯 $\mathit{AB}$长为 $10m$，坡角 $\angle \mathit{ABD}$为 $30°$；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角 $\angle \mathit{ACB}$为 $15°$，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯 $\mathit{AC}$的长度，（结果精确到0． $m$，温馨提示： $\sin 15°\approx 0.26$， $\tan 15°\approx 0.27)$